две окружности касаются друг друга в точке С. прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй окружности в точке В. докажите, что угол АСВ=90°​

Это на теорему менелая. (ac1/c1b)*(ba1/a1c)*(cb1/b1a) = 1; b1 - точка пересечения c1a1 и ac; вообще то тут стоит -1; но про ориентацию отрезков в данном случае можно забыть. пусть b1c = y; b1a = x; (2/5)*(6/1)*y/(x + y) = 1; это применена теорема менелая к треугольнику abc. x + y = (12/5)*y; x = (7/5)*y; am = mc = x/2 = (7/10)*y; mb1 = y + x/2 = (17/10)*y; теперь теорема менелая применяется к треугольнику abm (можно и к cbm); (ac1/c1b)*(bn/nm)*(mb1/b1a) =1; (2/5)*(bn/nm)*(17/10)/(12/5) = 1; bn/nm = 60/17; для тех, кто не знаком с теоремой менелая (которая доказывается элементарно), есть такой вариант решения (коротко) если провести параллельные ac прямые через c1 и a1, то стороны и медиана разобьются на куски в пропорциях 5: 1: 1, считая от вершины b.  получилась трапеция с основаниями (5/7)*x и (6/7)*x; x = ac; в которой c1a1 - диагональ. она делит заключенный между "основаниями" кусок медианы в пропорции 5/6, считая от меньшего. то есть, если медиана m, то между основаниями (1/7)*m; и эта "седьмушка" делится на куски (5/11)*(1/7)*m и (6/11)*(1/7)*m; нужное отношение bn/nm = ((5/7)*m + (5/11)*(1/7)*m)/((1/7)*m + (6/11)*(1/7)*m) = 60/17