В каком случае прямая m является осью симметрии окружности с центорм О?​

ну это прям доказательство надо расписывать(  по теореме 19 углы при основании равнобедренного треугольника равны. ну впрочем, опусти высоту на основание треугольника. и она разделит треугольник на две равные части (по гипотенузе и катету), а значит соответственные углы равны. ну а признаки про равнобедр. треуг. идут из теоремы:

сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны этого треугольника. (a + b > c, где с – наибольший из трех отрезков).

доказательство:   пусть  fcd - треугольник. докажем, что  fc +  fd > cd. опустим из вершины  c этого треугольника высоту ch. рассмотрим два случая: 1) точка  h принадлежит отрезку cd, или совпадает с его концами. в этом случае fc> hc и fd> hd, так как длина наклонной больше длины проекции наклонной. сложив  эти неравенства,  получаем  fc +  fd >   ch +  hd = cd. ч.т.д.