Точки А(-3;-4), В(5;-4), С(5;8), D(-3;-1) – вершины прямоугольной трапеции с основаниями АВ и CD. Найдите площадь трапеции.

Объяснение:

Средняя линия:  EF = 5,5√5 ед.

Площадь трапеции: Sabcd = 82,5 ед²

Объяснение:

Найдем длины (модули) отрезков:

|АВ| = √((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²) = √((-1-(-9))²+(5-1)²) = √80 = 4√5 ед.

|BC| = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²) = √((8-(-1))²+(2-5)²) = √90 = 3√10 ед.

|CD| = √((Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²) = √((-6-8))²+(-5-2)²) = √245 = 7√5 ед.

|АD| = √((Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²) = √((-6-(-9))²+(-5-1)²) = √45 = 3√5 ед.

Два вектора коллинеарны (параллельны), если отношения их координат равны. В нашем случае это векторы

АВ{8;4} и CD{14;7}, так как 8/14 = 4/7.  Следовательно, основания трапеции - это отрезки АВ и CD. Меньшая из боковых сторон - AD - высота прямоугольной трапеции.

Тогда имея длины всех сторон и определив, какие из них являются основаниями, найдем:

Среднюю линию:  EF = (AB+CD)/2 = 11√5/2 = 5,5√5 ед.

Площадь трапеции: Sabcd = EF·AD = (5,5√5)·3√5 = 82,5 ед²

Или так:

Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Найдем координаты середин сторон АD и BC - точек E и F соответственно:

Е((Xa+Xd)/2; (Ya+Yd)/2) или  Е((-9-6)/2; (1-5)/2).

F((Xb+Xc)/2; (Yb+Yc)/2) или  F((-1+8)/2; (5+2)/2).  Итак, имеем точки:

E(-7,5;-2) и F(3,5;3,5). Тогда длина средней линии равна:

|EF| = √((Xf-Xe)²+(Yf-Ye)²) = √((3,5-(-7,5))²+(3,5-(-2))²) = √151,25 ед.

Или EF = √151,25 = 5,5√5 ед.

Площадь трапеции равна средней линии, умноженной на высоту.

Sabcd = EF·AD = 5,5√5·3√5 = 3·27,5 = 82,5 ед².

|x^2  -  3x|  + 2x - 6 < = 0 нам  нужно  определить, на каких промежутках  выражение под модулем отрицательно, на каких положительно,  и на каких равно 0 x^2  -  3x = 0 x(x  -  3)  =  0 x1  =  0; x2 = 3 1)  в  точках  x1 и x2 модуль равен 0 x1  =  0: 0 + 0 - 6 < 0 - подходит x2  =  3: 0 + 2*3 - 6 = 0 - подходит. 2)  при  0  <   x  < 3  будет x^2 - 3x < 0, поэтому |x^2 -  3x|  = 3x - x^2 3x  -  x^2 + 2x - 6 < = 0 -x^2  +  5x - 6 < = 0 x^2  -  5x + 6 > = 0 (x  -  2)(x  -  3)  > =  0 x  < =  2 u x > = 3 с  учетом  заданного  промежутка  0 < x < 3 получаем 0  <   x < = 2 3)  при  x < 0 u x > 3 будет x^2 - 3x > 0, |x^2 -  3x|  = x^2 - 3x x^2  -  3x + 2x - 6 < = 0 x^2  -  x - 6 < = 0 (x  +  2)(x  -  3)  < =  0 -2  <   x < 3 с  учетом  заданного промежутка x < 0 u x > 3  получаем -2  <   x < 0 итоговое  решение: -2  <   x < 0 u x  = 0 u 0 < x <   2  u x = 3 ответ:   -2  < x < 2 u x = 3