Интеграл и его применение

1.Найти первообразную для функции f(x)=x5 +2x-4

2. Доказать, что функция F(x)=2sinx +3x является первообразной для функции f(x)=2cosx+3.

3.Найти для функции у=х такую первообразною,чтобы ее график проходил через точку Р(2;5).

4.Найти площадь фигуры ,ограниченной графиком функций у=х2 и у=4х-х2 .

5.Найти площадь фигуры ,ограниченной линиями: у=х2-4, у=х2-1, х=-2, х=2.

6.Производительность труда бригады рабочих в течение смены определяется по формуле f(t)=-2,53t2+24,75t+111,1,где t-рабочее время в часах.Определить объем продукции,изготовленной за 5 рабочих часов.

1.  ОТВЕТ: например, , поскольку .

Общий вид первообразных -

2. Докажем, что :

.

Что и требовалось доказать.

3. Общий вид первообразных функции - , где - некоторое постоянное число. Если график первообразной проходит через точку , то это значит, что при подстановке получим верное равенство:

Искомая первообразная -

ОТВЕТ: Y = x²/2 + 3.

4. Графики функции - во вложении 1. Площадь заданной фигуры заштрихована красным.

Поскольку график функции y = 4x - x² на отрезке [0; 2] располагается как минимум не ниже графика функции y = x² (выполняется неравенство 4x - x² ≥  x²), то площадь будет иметь вид

ОТВЕТ:  кв. ед.

5. Графики - во вложении 2. Площадь заданной фигуры заштрихована красным.

Поскольку на отрезке (-2; 2) график функции y = x² - 1 располагается выше графика функции y = x² - 4 (выполняется равенство  x² - 1 >  x² - 4), то площадь будет иметь вид

ОТВЕТ: 12 кв. ед.

6. Объем выполненной работы A(t) с момента по момент согласно механическому смыслу определенного интеграла есть значение выражения интеграла

Имеем:

ОТВЕТ: ≈ 760.

9x^2< = -5x

9x^2+5x< =0

x(9x+5)< =0

x=0

9x+5=0

9x=-5

x=-5/9-не подходит

x є (0; +бесконечность)