Представьте одночлен в виде квадрата другого одночлена(закреп) ​

добрый день! решение см. фото.

для нахождения закономерности, выполним банальное деление первых членов данного ряда и найдём остатки. (== - это я сразу пишу остаток от деления )

1) 7/ 400 == 7

2) 49 / 400 == 49

3) 343 / 400 == 343

4) 2401 / 400 == 1

и вот замечаем уже, что то получается у нас остаток стал меньше чем был (1 < 343)

далее для того, чтобы не считать 7^5 вспомним следующие свойство:

если r1 и r2 - остатки от деления на натуральное число m натуральных чисел a и b соответственно, то a*b, a+b с остаткоми от деления на m чисел   r1*r2 ; r1+ r2

5) 2401 * 7 == 1 * 7 = 7

6) 2401 * 49 == 1 * 49 = 49

7) 2401 * 343 == 1 * 343   = 343

8) 2401 * 2401 == 1 * 1 = 1

таким образом, думаю понятно, что если мы продолжим, то через каждое 4 число мы будем получать остатки 7 49 343 1

тогда найдём сколько в ряду будет четвёрок (ну то есть разобьём ряд по 4 члена)

у нас в ряду 2019 чисел (2019 слагаемых, но я оперирую тем, что мы просто находим сумму ряда)

=> 2019 / 4 = 504 и 3 в остатки

значит мы можем представить остатки этого огромного числа следующим образом

504 (7 + 49 + 343 +1) + r1 + r2 +r3   где r1,r2,r3 - остатки от деления чисел 7^2017   7^2018   7^2019

если число 504 (7 + 49 + 343 +1) + r1 + r2 +r3 делит на 400 без остатка => и наше первоначальное число делится на 400 без остатка.

504 ( 400) + r1 + r2 +r2 : 400

так как 504 * 400 : 400, то нам достаточно доказать, что r1+r2+r3 : 400

найдём r1, r2, r3

так как 7^2016 : 400 = 1 (в последней четвёрке это последнее число => остаток 1)

значит

7^2017 - это первое число в новой четвёрке

=> r1 = 7   r2 = 49   r3 = 343

r1 + r2 + r3 = 399

а 399 не делится на 400 => всё число не делится на 400

ответ: данное число не делится на 400 без остатка. остаток от деления = 1