Пусть О — центр описанной около ABC окружности, J — центр вписанной окружности. Докажите, что если точки А, В, О и J лежат на одной окружности, то угол С равен нужно ​

поооооооооооооооооооооооооооооооооооооо

ответ

Пусть угол  В=бетта

Так как точка   О - центр описанной окружности, угол АОС - центральный, а угол В- вписанный. По свойству вписанного угла  AOC=2angleB=2*бетта.

AIC=AOC=2*бетта - как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. (По условию точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти O и центр впи­сан­ной окруж­но­сти I лежат на одной окруж­но­сти.)

Точка I - центр вписанной окружности. Она лежит в точке пересечения биссектрис. Пусть углы А=альфа и С = гамма

Сумма углов треугольника А+В+С равна альфа+бетта+гамма

Рассмотрим треугольник AIC:

Сумма углов треугольника AIC равна  альфа/2 + бетта/2 + гамма/2= 180

получили систему:

{

альфа+бетта+гамма=180

альфа/2+2*бетта+гамма/2=180

} следовательно если мы первое разделим на 2 и вычтем из второго первое, получим, что

3/2*бетта=90

бетта=60

угол В=60

обозначим срединный перпендикуляр км. 

из периметра ∆ кef сумма ек+kf=р-еf=60-21=39  см

в ∆ dkе отрезок км медиана и высота. ⇒

∆ dkе - равнобедренный, dk=ек. 

ек+kf=39,  dk=ek⇒  dk+kf=39  ⇒  df=39 см