Кінці відрізка AB,що не перетинає площину ,знаходяться на відстанях 10см і 12см від цієї площини. На якій відстані від площини знаходиться середина відрізка AB?​

С1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй (Рис. 1).

С2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій (Рис. 2).

С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну (Рис. 3).

Зауваження. У планіметрії ми мали одну площину, на якій розміщувались усі розглядувані нами фігури. У стереометрії нескінченно багато площин. У зв'язку з цим формулювання деяких аксіом потребують уточнення.

ІІ2. Пряма, яка належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.

IV2. Від півпрямої на площині, яка містить її, у задану півплощину можна відкласти кут заданої градусної міри, меншої 180°, і до того ж тільки один.

IV3. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині із заданим розміщенням відносно даної пів прямої на цій площині.

V. На площині через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

Наслідки аксіом стереометрії

A, B, C - не лежать на одній прямій,

тоді !α, Aα, Bα, Cα

Рис. 6. Площина, проведена

через три точки

Якщо Aa, Ba, Aα, Bα

,тоді aα

Рис. 5. Пряма, яка проходить

через дві точки площини

Якщо Aa, тоді

!α , aα, Aα

Рис. 4. Площина, проведена

через пряму та точку

Теорема. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну (Рис. 4).

Теорема. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині (Рис. 5).

3 теореми випливає, що площина і пряма, яка не лежить на ній, або не перетинаються, або перетинаються в одній точці.

Теорема. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну (Рис. 6).

Паралельність у Паралельність прямих у Якщо a||b, b||c, тоді a||c

Рис. 10. Три паралельні прямі

Якщо Ba, тоді

!b, Bb, b||a

Рис. 9.

Рис. 8. Мимобіжні прямі

Рис. 7. Паралельні прямі

Означення. Дві прямі в називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються (Рис. 7).

Означення. Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними (Рис. 8).

Теорема. Через точку поза даною прямою можна провести пряму, паралельну цій прямій, і до того ж тільки одну (Рис. 9).

Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою (Рис. 10).

Паралельність прямої і площини у Якщо Bα, тоді !β, Bβ, β||α

Рис. 15. Паралельна площина

проведена через точку

поза даною площиною

Якщо aα, bα, a∩b=A,

β||a, β||b, тоді β||α

Рис. 14. Площина паралельна

до двох прямих другої площини

Рис. 13. Паралельні площини

Якщо bα, b||a, aα ,

тоді b||α

Рис. 12. Пряма, паралельна

до прямої на площині

Рис. 11. Пряма, паралельна

до площини

Якщо α||β, a||b, a∩α=A1,

a∩β=A2, b∩α=B1, b∩β=B2,

тоді A1A2 = B1B2

Рис. 17. Паралельні площини

перетинають паралельні прямі

Якщо α||β, γα, γβ,

γ∩α=a, γ∩β=b, тоді a||b

Рис. 16. Площина, яка

перетинає паралельні площини

Означення. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються (Рис. 11).

Теорема. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині (Рис. 12).

Означення. Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються (Рис. 13).

Теорема. Дві площини паралельні, якщо одна з них паралельна двом прямим, які лежать у другій площині і перетинаються (Рис. 14).

Теорема. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (Рис. 15).

Теорема. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі їх перетину паралельні (Рис. 16).

Теорема. Відрізки паралельних прямих, які містяться між паралельними площинами, рівні (Рис. 17).