20

вравнобедренном
треугольнике abc с основанием ac
проведена медиана bd. найдите градусные меры углов bdc и
bca, если 1 = 180​

Легко показать, что центр лежит на высоте тетраэдра из вершины d (на прямой, содержащей эту высоту). если m - середина ab, а n - середина bc, e - центр abd, f - центр acd, то  плоскость adn перпендикулярна ef и делит этот отрезок пополам, точно так же плоскость cdm перпендикулярна ab и делит её пополам. поэтому центр лежит на пересечении этих плоскостей, то есть на высоте тетраэдра.удивительно : ), но решается на много проще, если к уже заявленным точкам a b e f, через которые проходит сфера, добавить еще точку с и точку g - центр грани bcd. сечения сферы параллельными  плоскостями abc и efg - окружности, описанные вокруг правильных  треугольников abc (с стороной 2, радиус описанной окружности 2/√3) ) и efg. само собой, центры этих треугольников (и окружностей)  тоже лежат на высоте тетраэдра из точки d.расстояние между плоскостями этих сечений-окружностей равно d =  h/3, где h = 2*√(2/3); - высота тетраэдров,  то есть d = (2/3)* √(2/3); стороны треугольника  efg соединяют середины линий, проведенных  через центры боковых граней параллельно основанию. то есть они равны (1/2)*(2/3)*2 = 2/3; радиус описанной окружности равен r2 = r1/3; таким образом, теперь звучит так. надо найти радиус сферы, если известны радиусы двух параллельных сечений этой сферы r1 и r2 и расстояние между ними d; пусть x - расстояние от центра сферы до плоскости abc, r - радиус сферы.x^2 + r1^2 = r^2; (x + d)^2 + r2^2 = r^2; откуда легко найти x = (r1^2 - r2^2 - d^2)/(2*d); легко найти x =  √(2/3); то есть это половина высоты тетраэдра.  то есть центр сферы лежит ниже плоскости abc на расстоянии h/2 от неё. r =  √2;