Вычислить интеграл функции:

Для того чтобы доказать, что множество не замкнуто, нам достаточно найти два иррациональных числа - сложить их и в результате получить рациональное число. то есть сумма двух иррациональных чисел не всегда иррациональна, то есть не замкнуто на иррациональности. возьмем   простейшее иррациональное число  √2 и соответсвенно -√2 сложим  √2 + (-√2) =  √2 -  √2 = 0 0 число рациональное . тем самым мы нашли два иррациональных числа, которые при сложении рациональное число так же доказывается    незамкнутость иррациональных чисел при  1. разности 1+√3 и  √3 равна 1 2. произведении  √2 и 2√2  равно 4 3. делении 2√2 и  √2 равно 2 докажем что  √2 иррациональное число предположим что оно рациональное то есть его можно представить в виде несократимой  дроби  √2=a/b где a , целые и взаимнопросты (в противном случае они бы сократились) замечаем что a b оба  не  четные (если бы были оба четными то сократились на 2) возводим в квадрат   2=a²/b² 2b²=a²    замечаем что число 2b² четное, значит и a² тоже четное. заменяем a=2c и подставляем в 2b²=(2c)²=4c² b²=2c²   получили что и b четное. то есть a b четные и их можно сократить, но мы предполагали что они взаимнопросты, и тем самым допустили противоречие. значит  √2 нельзя представить в виде дроби и оно иррациональное число