Найдите день моего рождения, если сумма чисел равных произведению даты рождения на 12 и
номера месяца рождения на 31 равна 380.

обозначим:   х - дата рождения, у - номер месяца рождения.

тогда:  

                12х + 31у = 380

значение х может принимать значения в пределах от 1 до 31.

значение у может принимать значения в пределах от 1 до 12.

так как 12х - четно при любых возможных х, и результат суммы - четное число, то 31у так же должно быть четным, то есть у может принимать значения: 2; 4; 6; 8; 10; 12.

выразим х:

                    х = (380 - 31у) : 12

очевидно, что выражение в скобках должно быть кратно 12.

для у = 2:   (380 - 62) : 12 = 26,5

для у = 4:     (380 - 124) : 12 = 21 1/3

для у = 6:     (380 - 186) : 12 = 16 1/6

для у = 8:     (380 - 248) : 12 = 11

для у = 10:   (380 - 310) : 12 = 5 5/6

для у = 12:   (380 - 372) : 12 = 2/3

таким образом, единственное значение у, при котором выражение 380 - 31у кратно 12, - это 8.

при у = 8   х = 11

тогда искомая дата рождения:   11.08 или 11 августа.