10
подробно
найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:
5 - 4cosβ - 3sinβ

ответ:

наименьшее 0, наибольшее 12

объяснение:

область определения косинуса и синуса [-1; 1].

-1 ≤ cos α ≥ 1

-1≤ sin α ≥ 1

следовательно наименьшее значение будет

5-4*1-3*1=5-4-3=0

наибольшее

5-4*(-1)-3*(-1)=5+4+3=12

f(β) = 5 - 4cosβ - 3sinβ

находим производную и приравниваем к нулю:

f'(β) = 4sinβ - 3cosβ = 0   ⇒   4sinβ = 3cosβ   ⇒   tgβ = 3/4

β = arctg(3/4) + πn, n ∈ z

1) сначала подставим β = arctg(3/4) + 2πk, k ∈ z

5 - 4cos(arctg(3/4) + 2πk) - 3sin(arctg(3/4) + 2πk) = 5 - 4•cos(arctg(3/4)) - 3sin(arctg(3/4)) = 5 - 4•(4/5) - 3•(3/5) = (25 - 16 - 9)/5 = 0 - это наименьшее значение

2) подставляем β = arctg(3/4) + π + 2πm, m ∈ z

5 - 4cos(arctg(3/4) + π + 2πm) - 3sin(arctg(3/4) + π + 2πm) = 5 + 4cos(arctg(3/4)) + 3sin(arctg(3/4)) = 5 + 4•(4/5) + 3•(3/5) = 50/5 = 10 - это наибольшее значение

ответ: наибольшее значение выражения - 10, наименьшее значение - 0