Если f(x+1)+f(x+3)=2x^2+12x+18 найдите f(x)

ответ: f(x)=x^2+2x

пошаговое объяснение:

понятно ,что функцией f(x) является какой то многочлен.

предположим, что этот многочлен имеет степень выше 2 (n> 2) ,но тогда

f(x+1) и f(x+3) , будут содержать одночлены вида : a(x+1)^n и a(x+3)^n , но тогда

f(x+1)+f(x+3) будет иметь одночлен со старшей степенью : 2a1*x^n , но у многочлена справа наибольшая степень равна 2, то есть мы пришли к противоречию, f(x) имеет не более чем вторую степень.

найдём наш многочлен методом неопределенных коэффициентов.

пусть: f(x+1)=ax^2+bx+c

тогда:

f(x+3)=a*(x+2)^2+b*(x+2)+c=

ax^2+(b+4a)*x+(4a+2b+c)

f(x+1)+f(x+3)=2ax^2+(2b+4a)*x+(4a+2b+2c)=2x^2+12x+18

ax^2+(b+2a)*x+(2a+b+c)=x^2+6x+9

осталось решить систему:

a=1

b+2a=6 ( b=4)

2a+b+c=9 (c=3)

f(x+1)=x^2+4x+3

тогда:

f(x)=(x-1)^2 +4*(x-1)+3=x^2+2x

ответ: f(x)=x^2+2x