Найти место точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин равностороннего треугольника равна квадрату периметра этого треугольника

Раз надо найти гмт - а это какая-то линия - значит надо найти уравнение этой линии. координатный метод. имеем правильный треугольник авс. пусть вершина а этого треугольника будет началом координат. дано: ам²+вм²+см²=(3а)²=9а², где а - сторона треугольника. пусть дана точка м(х; y). тогда имеем: координаты вектора ам{x-xa; y-ya}, модуль |am|=√[(x-xa)²+(y-ya)²]. координаты вектора bм{x-xb; y-yb}, модуль |bm|=√[(x-xb)²+(y-yb)²]. координаты вектора cм{x-xc; y-yc}, модуль |cm|=√[(x-xc)²+(y-yc)²]. итак, (x-xa)²+(y-ya)²+(x-xb)²+(y-yb)²+(x-xc)²+(y-yc)²=9а². или (x-0)²+(y-0)²+(x-а/2)²+(y-(√3/2)а)²+(x-а)²+(y-0)²=9а². раскроем скобки: x²+y²+x²-ax+a²/4+y²-√3*ay+(3/4)a²+x²-2ax+a²+y²=9a². 3x²+3y²-3ax+2a²-√3*ay=9a². x²+y²-ax+(2/3)a²-(√3/3)*ay=3a². x²+y²-ax-(√3/3)*ay=(7/3)a². (x²-ax+(1/4)a²)+(y²-(√3/3)*/4)a²=(7/3)a². (x-(1/2)a)²+(y²-(√3/3)*ay+(√3/6)²*a²/4)a²-(1/12)a²=(7/3)a². (x-(1/2)a)²+(y-(√3/6)*/4)a²-(1/12)a²=(7/3)a². (x-(1/2)a)²+(y-(√3/6)*a)²=(1/4)a²+(1/12)a²+(7/3)a²=(8/3)a². (x-(1/2)a)²+(y-(√3/6)*a)²=(8/3)a². то есть искомое гмт - это окружность с центром в точке о((1/2)a; (√3/6)a) радиуса r=√((8/3)a²)=(2√2/√3)*а. или r=(2√6/3)а. где а - сторона треугольника. ответ: искомое гмт является окружностью с центром о, с центром данного нам треугольника и радиусом, равным r=(2√6/3)а. где а - сторона треугольника. p.s. заметим, что найденная точка о((1/2)a; (√3/6)a) лежит в центре треугольника, так как в правильном треугольнике высота равна h=(√3/2)*a и делится центром треугольника в отношении 2: 1, считая от вершины. значит центр треугольника лежит на расстоянии (1/3)*(√3/2)*a или (√3/6)*a. а это координата y точки о. таким образом, расположив начало координат изначально в центр треугольника, мы бы облегчили арифметику вычислений.

х*14=112

х=112:14

х=8

8*14=112

133:у=19

у=133:19

у=7

133:7=19

m:15=90

m=90*15

m=1350

ответ: х=8, y=7, m=1350