Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функций y=x^3+9x^2+10 с объяснением ​

ответ:

(-∞ ; -3) => функция выпукла;

(-3; +∞) => функция вогнута;

(-∞ ; -6) < => f'(x) > 0 => функция возрастает;

(-6; 0) < => f'(x) < 0 => функция убывает;

(0; +∞) < => f'(x) > 0 => функция возрастает ;

объяснение:

1. находим интервалы возрастания и убывания. первая производная.  

f'(x) = 3x2+18x  

или  

f'(x)=3x(x+6)  

находим нули функции. для этого приравниваем производную к нулю  

x(x+6) = 0  

откуда:  

x1 = 0  

x2 = -6

(-∞ ; -6) < => f'(x) > 0 => функция возрастает;

(-6; 0) < => f'(x) < 0 => функция убывает;

(0; +∞) < => f'(x) > 0 => функция возрастает ;

в окрестности точки x = -6 производная функции меняет знак с (+) на (-). следовательно, точка x = -6 - точка максимума. в окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). следовательно, точка x = 0 - точка минимума.  

2. найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. вторая производная.  

f''(x) = 6x+18  

находим корни уравнения. для этого полученную функцию приравняем к нулю.  

6x+18 = 0  

откуда точки перегиба:  

x1 = -3

(-∞ ; -3) => функция выпукла;

(-3; +∞) => функция вогнута;