Не решая квадратного уравнения 2х'2+12х-3 найдите сумму чисел обратных кубам его корней.составьте квадратное уравнение корни которых противоположны квадратам корней данного уравнения​

ответ: 1/x1^3 +1/x2^3=72

уравнение с корнями обратными данным: 3t^2-12t-2=0

объяснение:

пусть x1,x2-корни данного уравнения.

для того чтобы составить уравнение с корнями обратными данным, нужно подставить вместо x ,1/t

(2/t)^2 +12/t -3=0

3t^2-12t-2=0 - уравнение с корнями:

t1=1/x1 и t2=1/x3 .(этот простой приём справедлив для многочлена любой степени)

по теореме виета:

t1+t2=12/3=4

t1*t2=-2/3

1/x1^3 + 1/x2^3=

(1/x1)^3+(1/x2)^3=t1^3+t2^3=

(t1+t2)*(t1^2-t1*t2+t2^2)=

(t1+t2)*( (t1+t2)^2-3t1*t2)=4*(16+2)=72

2х²+12х-3=0, по теореме виета х₁+х₂=-12/2=-6, а х₁*х₂=-3/2;

1/х₁³+1/х₂³=(х₂³+х₁³)/((х₁*х₂)³)=

((х₁+х₂)(х₁²-х₁х₂+х₂²))/((х₁*х₂)³)=-6*((х₁+х₂)²-3х₁*х₂)/((х₁*х₂)³)=

-6*(36-3*(-3/-3/2)³)=-6*(72+9)/((2*(-3/2)*(9/4))=(4*6*3)=72

корни данного квадратного уравнения равны (-6±√(36+6))/2=-3±0.5√42;

квадраты корней данного уравнения равны (-3-0.5√42)²=(3+0.5√42)²=

(9+3√42+42*0.25)=(19+3√42), а ему противоположен -(19+3√42).

квадрат другого корня равен (-3+0.5√42)²=(19-3√42), ему противоположен (3√42-19), а искомое квадратное уравнение тогда имеет вид (х-(-(19+3√-(3√42-19))=0; (х+19+3√-3√42+19))=0;

(х+19)²-(3√42)²=0; х²+38х+361-9*42=0; х²+38х-17=0