Среди участников шахматного турнира юношей было в 7 раз больше, чем девушек, и они вместе набрали в 3 раза больше очков, чем все девушки. сколько девушек участвовали в турнире? (турнир проводился по круговой системе: каждый играл с каждым по две партии- одну белыми, а другую чёрными; за выигрыш партии участник получал одно очко, за ничью-1/2 очка, за проигрыш - 0.)

пошаговое объяснение:

пусть x - количество девушек, тогда 7x - количество юношей, всего 8x участников.

пусть y - очки, набранные девушками, 3y - очки, набранные юношами, всего 4y очков.

для справки: если число игроков в круговом турнире n, то число игр рассчитывается по формуле n(n-1)/2.

в нашем случае это значение нужно умножить на 2, так как каждый с каждым играют по 2 раза.

то есть всего игр будет сыграно 8x(8x-1).

так как после каждой игры, независимо от того кто выиграл, в общую копилку прибавляется 1 очко, общее количество очков за турнир будет равно количеству игр, то есть 4y = 8x(8x-1). откуда y=2x(8x-1) {уравнение 1}.

казалось бы, решений бесконечное множество, но помним, что девушки играют между собой. каждая девушка может набрать максимум 2(8x-1) очков. всего девушек x, поэтому вместе они могут набрать максимум 2x(8x-1) - x(x-1)/2, где x(x-1) - количество игр между девушками. то есть появляется условие y < = 2x(8x-1) - x(x-1)/2.

подставляем в последнее неравенство значение y из уравнения 1, сокращаем и получаем:

x(x-1) < = 0

это неравенство выполняется только при x = 1. вспоминаем, что x - это искомое количество девушек