Исследуйте функцию и постройте график у=6х⁵+15х⁴+10х³ . .

  y=6x⁵+15x⁴+10x³

1)   область определения: х∈(-∞,+∞) .

2)   множество значений: у∈(-∞,+∞) .

3)   эта кривая не имеет асимптот, так как

.

нет точек разрыва.

4)   точка пересечения с осью оу (при х=0) одна - это (0,0).

5)   точка пересечения с осью ох тоже одна - (0,0) , так как

6)   интервалы монотонности и точки экстремума функции:

подсчитаем знаки производной   y'   на полученных интервалах:

при переходе через точки х=0 и х= -1 производная не меняет знак, значит точки х=0 и х= -1 не являются точками экстремума. а на промежутках, где производная всюду положительна, сама функция возрастает.

интервалы возрастания функции:   x∈(-∞,-1 ]∪[-1,0 ]∪[0,+∞) .

7) интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции:

определим знаки второй производной y'' на интервалах:

на промежутках, где y''< 0, функция y(x) выпукла, а там, где y''> 0, функция вогнута. точки перегиба - те точки, при переходе через которые у'' меняет знак,это х= -1 , х= -0,5 , х=0 .

8)   для более точного построения графика найдём координаты некоторых промежуточных точек:   (-1,-1)   ,   (-0,5 ; -0,5) .

график на рисунке.

  у=1/3х^3-3х^2+5х+1

y`=x^2-6y+5

y`=0     x=1     x=5

наносим на луч, отмечаем знаки ++

x=1 т. max

x=5 т. min

f возраст     (-oo,1] .   [5.+oo)

f   убывает [1.5]