О- точка пересечения диагоналей четырехугольника . о1,о2 ,о3 и о4 - центры описанных окружностей треугольников аво, вос, сод и аод соответственно. докажите, что четырехугольник о1о2о3о4 является параллелограммом. найдите площадь четырехугольника о1о2о3о4, если площадь четырехугольника авсд равна 6 и его диагонали образуют угол 30 градусов

центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, в данном случае - к отрезкам диагоналей. перпендикуляры, проведенные к одной диагонали, параллельны - o₁o₂||o₃o₄, o₁o₄||o₂o₃. противоположные стороны параллельны, o₁o₂o₃o₄ является параллелограммом.

s(abcd)= ac*bd*sin30 /2 < => ac*bd = 6*4 =24

e, f, g, h - середины ao, bo, co, do

в четырехугольнике o₁foe противоположные углы прямые, следовательно сумма другой пары противоположных углов так же равна 180.

∠fo₁e +∠foe =180

∠fog +∠foe =180

∠fo₁e=∠fog =30

o₂k - высота на o₁o₄. катет, лежащий против угла 30, равен половине гипотенузы.

o₂k= o₁o₂/2

o₂k= ge =ac/2 => o₁o₂=ac

fh=bd/2

s(o₁o₂o₃o₄)= o₁o₂*fh = ac*bd/2 =24/2 =12

4√3

Объяснение:

используем теорему косинусов

MP²=MN²+NP²-2MN·NPcos∠N

MN=NP ⇒ MP²=2MN²-2MN²cos∠N

                  MP²=2MN²(1-cos∠N)

8²=2MN²(1-1/3)

4MN²/3=64

MN²=64·3/4

MN²=16·3     MN=4√3