Регистрация Спросить otvet5GPT
vaniev2006
04.06.2021 16:46
Алгебра
Есть ответ 👍

Доведіть,що нерівність x²+y²-2(2x-y)+5≥0 справджується при будь яких значеннях змінних

170
428
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

EvaKaa
EvaKaa
4,6(83 оценок)
Сумма двух неотрицательных чисел  ≥0
spaisminGena
spaisminGena
4,4(49 оценок)

\[\left\{\begin{aligned}&(a-1) x^2 - 2x - a 0, \\[1ex] &x 3.\end{aligned}\right.\]

Рассмотрим сначала особую точку a = 1 --- там парабола вырождается в прямую. Тогда

\[\left\{\begin{aligned}&{-2x}-1 0, \\ &x 3\end{gathered}\right.\implies x\in\varnothing.\]

Значит, все дальнейшие рассуждения проводим при a\neq 1.

Найдём корни функции f(x) = (a-1) x^2-2x-a:

x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{a^2-a+1}}{a-1} \equiv x_0 \pm \dfrac{\sqrt{a^2-a+1}}{a-1},\quad x_0 = \dfrac{1}{a-1},

где x_0 --- вершина параболы и по совместительству точка экстремума функции f(x).

Значение функции в этой точке равно

f_0 = f(x_0) = -\dfrac{a^2-a+1}{a-1}=-\dfrac{\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{a-1}.

Из исследования знаков производной/функции легко установить, что при a < 1 величина f_0 --- максимум (это, впрочем, понятно и из вида функции f(x)), больший нуля. Причём в этом случае x_0 < 0, т.е. понятно, что в области x 3 функция будет падать от какого-то максимального положительного (это в лучшем случае, а может уже и от отрицательного) значения. В любом случае, рано или поздно значение функции станет меньше нуля.

Таким образом, рассматриваем значения a 1.

Ну, раз просят наименьшее целое значение параметра, то не будем далеко ходить и рассмотрим a=2.

Корни и точка экстремума:

x_{1,2} = 1\pm\sqrt{3},\quad x_0 = 1.

Теперь уже x_0 - минимум функции, а (после аналогичного анализа) f_0 < 0.

Если нам повезёт, то правый (который x_2 = 1+\sqrt{3}) корень будет лежать левее точки x=3, а это будет означать, что к тому времени как функция подойдёт к x=3, она уже будет положительна (ведь правее экстремума x_0 = 1 парабола рогами вверх будет идти только вверх). Исследуем:

\begin{gathered}1+\sqrt{3} \vee 3, \\ \sqrt{3} \vee 2, \\ 3 < 4\end{gathered} \implies 1+\sqrt{3} < 3.

Победа.

ответ. a=2.

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS