(2-5х)²-4*|2-5х|=12 решите уравнение. с решением

1)  выражение  x12+x22    получится, если взвести в квадрат обе части равенства  x1+x2=-p;

(x1+x2)2=(-p)2;   раскрываем скобки: x12+2x1x2+ x22=p2;   выражаем искомую сумму: x12+x22=p2-2x1x2=p2-2q. мы получили полезное равенство:   x12+x22=p2-2q.

2)  выражение  x13+x23  представим по формуле суммы кубов в виде:

(x13+x23)=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)=-p·(p2-2q-q)=-p·(p2-3q).

еще одно полезное равенство:   x13+x23=-p·(p2-3q).

примеры.

3) x2-3x-4=0.  не решая уравнение, вычислите значение выражения   x12+x22  .

решение.

по теореме виета сумма корней этого квадратного уравнения

x1+x2=-p=3,  а произведение  x1∙x2=q=-4. применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x12+x22=p2-2q.  у нас  -p=x1+x2=3  →  p2=32=9;   q=x1x2=-4.  тогда  x12+x22=9-2·(-4)=9+8=17.

ответ:   x12+x22=17.

4)  x2-2x-4=0.  вычислить:   x13+x23.

решение.

по теореме виета сумма корней этого квадратного уравнения  x1+x2=-p=2,  а произведение  x1∙x2=q=-4. применим полученное нами (в примере 2) равенство:   x13+x23=-p·(p2-3q)=2·(22-3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

ответ:     x13+x23=32.

вопрос: а если нам дано не квадратное уравнение? ответ: его всегда можно «», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x2-5x-7=0.  не решая, вычислить:   x12+x22.

решение.  нам дано полное квадратное уравнение. разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим квадратное уравнение:   x2-2,5x-3,5=0.

по теореме виета сумма корней равна  2,5; произведение корней равно  -3,5.

решаем так же, как пример  3), используя равенство:   x12+x22=p2-2q.

x12+x22=p2-2q=2,52-2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

ответ:   x12+x22=13,25.

6)  x2-5x-2=0.  найти:

преобразуем это равенство и, заменив по теореме виета сумму корней через  -p, а произведение корней через  q, получим еще одну полезную формулу. при выводе формулы использовали равенство 1):   x12+x22=p2-2q.

в нашем примере    x1+x2=-p=5;   x1∙x2=q=-2.  подставляем эти значения   в полученную формулу:

7)  x2-13x+36=0.  найти:

преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

у нас    x1+x2=-p=13;   x1∙x2=q=36.  подставляем эти значения в выведенную формулу:

совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь  4  рассмотренные  полезные формулы  позволяют быстро выполнить , прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант  — «неудобное» число. во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. например, в последнем примере подберем корни по теореме виета: сумма корней должна быть равна  13, а произведение корней  36. что это за числа? конечно,  4 и 9.  а теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел:   2+3=5.  вот так то!