Точки о, м, к и f - соответсвтенно середины ребер ав, вс, аd и dс правильной четырехугольной пирамиды sabcd. точка з лежит на ребре sc, ср: рs=1: 2. докажите, что плоскости fpm и kso параллельны

треугольник  abc  подобен треугольнику  mbn  по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. тогда углы  bac  и  bmn  равны, и  ac  ||  mn. далее,  pq  ||  ac  поскольку является средней линией треугольника  adc. значит,  mn  ||  pq  и поэтому  p,  q,  m  и  n  лежат в одной плоскости.

б) пусть объём  abcd  равен  v. пятигранник  apmcqn  состоит из четырёхугольной пирамиды  pacnm  с основанием  acnm  и треугольной пирамиды  pqcn  с основанием  qcn. выразим их объемы через  v.

расстояние от  p  до (bcd) вдвое меньше расстояния от  a  до (bcd), а площади треугольников  qcn  и  bcd  относятся как 1  :   6. значит, 

площадь треугольника  mbn  составляет    площади  abc. значит,    расстояние от точки  p  до (abc) вдвое меньше расстояния от  d  до (abc), поэтому 

таким образом,    то есть ответ:   13 : 23. 

по теореме пифагора:

h = √(58² - 42²) = √((58 - 42)(58 + 42)) = √(16 · 100) = 4 · 10 = 40 см