Найдите площадь прямоугольного треугольника если его гипотенуза 12 а один из углов 30°

Abc - прямоугольный треугольник  ab = 12, следовательно bc = 1/2 ab = 6 (по свойству углов в 30 градусов)  по теореме пифагора находим ac = ab^2 - bc^2 = 144 - 36 = √108 =6√3  площадь прямоугольного треугольника = 1/2 bc * ac = 1/2 6 * 6√3 =  18√3 

Соединим центр окружности o   с точкой пересечения касательных. пусть h точка пересечения касательных. рассмотрим треугольник  aoh : 1) в нём  ∠ oah = 90 ° так как радиус oa проведён в точку касания a  касательной ah, и треугольник aoh -  прямоугольный.2) так как касательные проведены из одной точки, то отрезок, соединяющий центр окружности и точку пересечения касательных ( в нашем случае этот отрезок oh) является биссектрисой угла ahb . поэтому    ∠aho =  ∠ahb / 2 = 85°  /  2  = 42.5°.   3) сумма двух острых  углов в прямоугольном  треугольнике равна 90°. то  есть    ∠aoh +    ∠aho = 90°.  ∠aoh = 90° -   ∠aho = 90° -  42.5°  = 47.5° треугольники aoh и boh равны ( oh общая сторона.   ∠ahb  =  ∠ohb . ah  =  bh - как отрезки касательных проведённых из одной точки)  поэтому  ∠aoh  =  ∠boh  =  47.5° тогда  ∠ aob =  ∠aoh  +  ∠boh = 95° треугольник aob равнобедренный так как oa = ob - как радиусы.поэтому  ∠ abo  =  ∠ oab  = (180° -  ∠ aob) / 2. ∠ abo  = (180°  - 95°)  /  2  = 85° / 2  = 42.5° ответ: ∠ abo  = 42.5°