Назовите обратная функция а. x(y)=2-y b.x(y)=y+2 c.x(y)=y d.x(y)=y-2

определение.

пусть функция y=f(x) определена на множестве d, а e — множество её значений. обратная функция по отношению к  функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве e и каждому y∈e ставит в соответствие такое значение x∈d, что f(x)=y.

таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений  y=f(x) — областью определения обратной функции.

чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) в формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

x=f(y).

2) из полученного равенства выразить y через x:

y=g(x).

пример.

найти функцию, обратную функции y=2x-6.

1) x=2y-6

2) -2y=-x-6

y=0,5x+3.

функции  y=2x-6 и  y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x  (биссектрисы i и iii координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 —  линейные функции. графиком линейной функции является  прямая.  для построения прямой берём две точки.

однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение    x=f(y) имеет единственное решение. это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется  обратимой).

теорема (необходимое и достаточное  условие обратимости функции)

если функция  y=f(x)  определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы  f(x) была строго монотонна.

причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если  y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток,  где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке  найти функцию, обратную данной.

классический пример —  функция y=x². на промежутке [0; ∞) функция возрастает. условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.

так как область определения  функции y=x² —  промежуток [0; ∞),  область значений на этом промежутке — также  [0; ∞), то область определения и область значений обратной функции - также  [0; ∞).

1) x=y².

2)

так как y≥0, то

то есть на промежутке  [0; ∞)  y=√x  - функция, обратная к функции  y=x². их графики симметричны относительно биссектрисы i и iii координатных четвертей:

в наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции