Найти целые числа k и m, удовлетворяющие условию 2^(2k+1) + 2^k = m^2/

пусть сначала k> 0.

так как первый сомножитель делится на 2, а второй не делится, то 2^k должно быть полным квадратом, т.е. k четно; k=2k. если первый сомножитель представляется полным квадратом, то и второй сомножитель - полный квадрат.

2^(2k+1)+1=m^2

2^(2k+1)=(m-1)(m+1)

стало быть, m нечетно; m=2m+1

2^(2k+1)=2m*2(m+1)

2^(2k-1)=m*(m+1)

последнее равенство при целых m, k выполняется, если:

- 2k-1=0 - не может такого быть

- m=0, тогда 2k-1=0, чего опять быть не может.

итак, единственный возможный вариант - k=0. подставим:

2^1+2^0=m^2

m^2=3

это   уравнение не имеет целочисленных корней.

теперь k< 0. 

k=-1: 2^(-1)+2^(-1)=m^2

1=m^2

m=+-1

k< -2: первое число - несократимая дробь со знаменателем -(2k+1), второе - дробь со знаменателем (-k). при рассматриваемых k -(2k+1)> -k, так что сумма дробей не является целым числом.

ответ. (k,m)=(-1,+-1).