Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - r.

Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. по теореме пифагора: зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем: добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части: так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то: зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим: подставим вместо а+b и с известные выражения: выполняем преобразования: возведем обе части в квадрат: r² взаимно уничтожается, сокращаем на s: домножаем на r: площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)ответ: 2rr+r²

для решения данной воспользуемся  такой  теоремой:

центр окружности описанной около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам.

тогда имеем прямоугольный треугольник со сторонами:

исходя из того что треугольник прямоугольный находим катеты:

так как площадь прямоугольного треугольника равна:

получаем

тогда

получаем:

зная, что площадь равна:

получаем:

тогда получаем:

прибавимс обеих сторон:

т.кполучаем:

так как

получаем:

делим все на:

откуда получаем:

ответ:

Можно сообразить. Есть теорема, утверждающая, что если соединить все соседние середины сторон четырехугольника, то получится параллелограмм. Получим: средние линии перпендикулярны тогда и только тогда, когда там ромб. Это бывает тогда и только тогда, когда равны соседние стороны. А это равносильно равенству диагоналей (т. к. они вдвое больше по свойству средней линии треугольника) . Вот такое доказательство, по крайней мере, для выпуклого четырехугольника. Для невыпуклого, если надо, можно привести аналогичные рассуждения.