Вшар радиуса 3 вписан цилиндр наибольшего объёма. чему равен радиус цилиндра

обозначим радиус шара r, радиус цилиндра r, высоту цилиндра h, объем цилиндра v.

r=3

радиус цилиндра является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - радиус шара, а второй катет половина высоты цилиндра, отсюда:

r²=r²-¼h²=9-¼h²

v=πr²h=πh(9-¼h²)=π(9h-¼h³)

очевидно, что минимальный объем будет при h=0, а чтобы найти максимальный, возьмем производную от функции объема по h и приравняем нулю.

v'=π(9-¾h²)

π(9-¾h²)=0

9=¾h²

12=h²

h=2√3

r²=9-3=6

r=√6

в равнобедренном треугольнике авс (ав=ас) угол а равен 100°, отрезок вd- биссектриса треугольника.  докажите, что вd+ad=bc 

сделаем рисунок.

∠авс=∠асв=(180°-100°): 2=40°

  проведем биссектрису см и отрезок мd. 

в  ∆ амс и ∆ аdв стороны  ав=ас по условию. 

угол при а - общий, углы авd=асм =40: 2=20°  как половины равных углов.

∆ амс = ∆ аdв по равной стороне и прилежащим к ней равным углам.  

следовательно, ам=аd, и  ∆ амd - равнобедренный.  

углы треугольников авс и амd  при их  основаниях равны, они  соответственные при пересечении двух прямых секущими, и поэтому   мd||вс (свойство), ⇒

  ∠ dмс=∠мсв как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей. 

а т.к. см - биссектриса, то ∠ dсм=∠ мсd

  ∆ мdс - равнобедренный, мd=dс. 

  отложим на вс отрезок вк=вd  соединим d и к.  

∆ квd - равнобедренный по построению. 

угол квd=20°. следовательно,  углы при кd=по 80°

тогда угол скd=100° как смежный углу  dkb  . 

∠ кдс=180°-100°-40°=40° ⇒ ∆ скd - равнобедренный.  и равен треугольнику маd по стороне и прилежащим к ней углам. кс=аd

вс=вк+кс, кс=аd,  ⇒  вd+аd=вс, что и требовалось доказать.