Теннисный мяч, падая с высоты h, поднимается на высоту h1, на какую высоту он поднимется после n-го удара,коэффициент восстановления считать постоянным, коэффициент восстановления наывается отношение скорости до удара к скорости после

рассмотрим 1 удар

до удара

потенц энергия   еп=mgh

кинет энергия   ек =mv^2/2

по закону сохранения   энергии равны   еп=ек ;   mgh =mv^2/2 ; gh =v^2/2         (1)

после удара

потенц энергия   еп1=mgh1

кинет энергия   ек1 =mv1^2/2

по закону сохранения   энергии равны   еп1=ек1 ;   mgh1 =mv1^2/2 ; gh1 =v1^2/2   (2)

разделим   (1)   на (2)

gh / gh1=v^2/2   /  v1^2/2

h / h1=v^2   /  v1^2

h1 = h (v1/v)^2    считать постоянным, коэффициент восстановления k

h1 = h k^2                     (3)

рассмотрим 2 удар

до удара

потенц энергия   еп1=mgh1

кинет энергия   ек1 =mv1^2/2

по закону сохранения   энергии равны   еп1=ек1 ;   mgh1 =mv1^2/2 ; gh1 =v1^2/2         (4)

после удара

потенц энергия   еп2=mgh2

кинет энергия   ек2 =mv2^2/2

по закону сохранения   энергии равны   еп2=ек2 ;   mgh2 =mv2^2/2 ; gh2 =v2^2/2   (5)

разделим   (4)   на (5)

gh1 / gh2=v1^2/2   /  v2^2/2

h1 / h2=v1^1   /  v2^2

h2 = h1 (v2/v1)^2    считать постоянным, коэффициент восстановления k

h2 = h1 k^2   подставим из (3)   значение h1  = h k^2 

h2 = h k^2 *  k^2 = h* ( k^2 )^2         (6)

и так далее 

после n -го   удара   уравнение   (6)   имеет вид

  h(n)= h* ( k^2 )^n = h*k^(2n)