Через середину k медианы bm треугольника авс и вершину a проведена прямая, пересекающая сторону вс в точке p. найдите отношение полощади треугольника bkp к площади треугольника amk.

первое, что надо сделать - найти отношение вр/ср;

есть много способов, я применяю тот, который используется при доказательстве теоремы чевы. через вершину в проводится прямая ii ас. ар продолжается за точку р до пересечения с этой прямой в точке е. 

итак, ве ii ac;  

треугольники евк и акм подобны (у них углы равны), поэтому ев/ам = вк/км; в даном случае вк/км = 1, и ев = ам; (то есть эти треугольники просто равны). 

отсюда ев = ас/2; (вм - медиана)

треугольники евр и аср тоже подобны по тому же признаку, поэтому вр/ср = ев/ас = 1/2;

итак, ср = вс*2/3; и, соответственно, площадь треугольника аср

sacp = s*2/3; (s - площадь треугольника авс).

поскольку площадь треугольника вам равна половине площади авс, а площадь акм равна половине авм, то 

sakm = s/4;

таким образом, площадь четырехугольника крсм равна

skpcm = sacp - sakm = s*(2/3 - 1/4) = s*5/12;

ответ 12/5;

я намеренно не объясняю, почему из того, что  ср = вс*2/3; следует, что  sacp = s*2/3;

и там я еще два раза использовал тот же прием при вычислении sakm. 

конечно, если высоты треугольников равны, их площади относятся, как стороны, к которым эти высоты проведены. я тут это раз 100 уже объяснял, и потом - если постоянно это все расписывать - каждое решение разбухнет до размеров учебника по .

Проверка:

верно.

ответ: 0,8