Теорема о параллельных прямых (доказательство)

Теорема две прямые, параллельные третьей, параллельны. доказательство. пусть прямые a и b параллельны прямой с. допустим, что прямые a и b не параллельны. тогда они пересекаются в некоторой точке с. получается, что через точку с проходит две прямые параллельные прямой с. но это противоречит аксиоме «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной» . теорема доказана. теорема если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. доказательство. пусть есть параллельные прямые a и b, которые пересекаются секущей прямой с. прямая с пересекает прямую а в точке a и прямую b в точке b. проведем чрез точку a прямую a1 так, что бы прямые a1 и b с секущей с образовали равные внутренние накрест лежащие углы. по признаку параллельности прямых прямые a1 и b параллельны. а так как через точку a можно провести только одну прямую параллельную b, то a и a1 . значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные прямой a и b, равны. теорема доказана. на основании теоремы доказывается: если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны. если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180 º

докажем, что за столом сидит не более девяти хоббитов. разобьём жителей на девять групп по три сидящих подряд жителя. в каждой такой группе сидит не больше одного хоббита, следовательно, хоббитов не больше девяти.

теперь докажем, что в правильном 27-угольнике можно образовать тремя вершинами равносторонний треугольник. пронумеруем вершины 27-угольника как a₁, a₂, , a₂₇. докажем, что a₁a₁₀ = a₁₀a₁₉ = a₁₉a₁. для этого совместим наложением ломаную a₁a₂₁₀ с ломаной a₁₀a₁₁₁₉. так как a₁a₂ = a₁₀a₁₁ (27-угольник правильный), то отрезок a₁a₂ наложится на отрезок a₁₀a₁₁, а так как ∠a₁a₂a₃ = ∠a₁₀a₁₁a₁₂, то следующие два отрезка, которые тоже равны, будут находиться под равным углом от этих, следовательно, наложатся друг на друга. таким образом совмещается и остальная часть ломаных. так как точка a₁ совместилась с точкой a₁₀, а точка a₁₀ с точкой a₁₉, то a₁a₁₀ = a₁₀a₁₉. аналогичным образом доказывается, что a₁a₁₀ = a₁₉a₁ = a₁₀a₁₉, следовательно, равносторонний треугольник можно образовать тремя вершинами правильного 27-угольника. всего у нас 9 способов выбрать три вершины для треугольника (они не пересекаются). назовём вершины такого треугольника "тройкой" (точнее жителей, сидящих на местах в его вершинах).

пусть за столом сидело ровно девять хоббитов. так как между двумя любыми хоббитами сидит не меньше двух викингов, между каждыми двумя хоббитами должно сидеть по два викинга. значит, остаток от деления на 3 мест, на которых сидят хоббиты, одинаков для всех хоббитов. значит, три викинга, сидящие на равных расстояниях друг от друга, найдутся.

пусть за столом было не более 8 хоббитов, тогда можно разбить всех жителей за столом на 9 троек. тогда найдётся тройка, в которой нет ни одного хоббита, следовательно, в ней все являются викингами, которые сидят на равных расстояниях друг от друга.

подробнее - на -