Вравнобедренной трапеции mnkp диагональ мк является биссектрисой угла при нижнем основании мр. меньшее основание nk равно 8 см. найдите площадь трапеции, если один из углов в два раза меньше другого. в каком отношении высота ке делит основание мр с пояснениями!

условие насчет «один из углов в два раза меньше другого» делает элементарной. в самом деле, углы при основании равнобедренной трапеции равны, поэтому речь идет о внутренних односторонних углах при боковой стороне, сумма которых 180 градусов, поэтому угол при большем основании 60 градусов, а при меньшем — 120, конечно.

но это означает, что трапеция является усеченным правильным треугольником. поскольку диагональ трапеции является биссектрисой угла при основании, то попадает в середину стороны этого  правильного треугольника. то есть верхнее основание — это средняя линяя  правильного треугольника, до которого достраивается трапеция при продолжении боковых сторон. отсюда большее основание равно удвоенному меньшему, то есть 16. 

площадь можно сосчитать по разному, например, как 3/4 площади правильного треугольника со стороной 16. 

однако можно и так — соединим середину большого основания с вершинами малого. легко видеть, что трапеция разрезана на 3 равносторонних треугольника со стороной 8. площадь каждого из них 8^2*корень(3)/4 = 16*корень(3), а площадь трапеции 48*корень(3).

теперь заодно видно, что высота ке делит большое основание в отношении 3/1.