Докажите, что при любом значении a трёхчлен -25a^2+60a-40 принимает отрицательные значения.

Решим квадратное уравнение -25а^2+60а-40=0 d=60^2-4*(-25)*(-40)=3600-4000=-400 d< 0 корней уравнения нет график этой функции f(a) - парабола. у параболы ветви направлены вниз и парабола находится ниже оси х, так как -25< 0 и d< 0. а это и означает, что функция принимает только отрицательные значения.

Рассмотрим функцию y(a)=-25a^2+60a-40 найдем ее производную: y'(a)=-25*2a+60=-50a+60=-50(a-6/5) производная равна 0 при a=6/5. при a < 6/5 производная положительная, поэтому функция возрастает при a > 6/5 производная отрицательная, поэтому функция убывает это значит, что a=6/5 - точка максимума. y(6/5) = -25*(6/5)^2+60*(6/5)-40 = -36+72-40=-4 < 0. так как наибольшее значение функции меньше 0, то и остальные значения подавно будут меньше 0, ч.т.д. решение без производной: y(a) - парабола с ветвями вниз, так как коэффициент при a^2 меньше 0. тогда составляющая a вершины параболы равна -60/(2*(-50)) = 6/5 - значение, при котором парабола принимает наибольшее значение. y(6/5) = -25*(6/5)^2+60*(6/5)-40 = -36+72-40=-4 < 0. так как наибольшее значение функции меньше 0, то и остальные значения подавно будут меньше 0, ч.т.д. еще решение (все решения связаны друг с другом) находим дискриминант: d = 60^2 - 4*(-25)*(-40) = -400 < 0 - это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс. поскольку коэффициент при старшей степени меньше 0, то ветви  параболы направлены вниз, и вся парабола полностью находится ниже оси абсцисс (если бы коэффициент при a^2 был больше 0, то парабола была бы полностью над осью абсцисс).

Х=-4/7