Впараллелограмме острый угол равен 60 градусов, а стороны равны 6 см и 8 см. найдите меньшую диагональ

дан параллелограмм авсd. опустим высоту вн к стороне ad, равной 8. катет ан образовавшегося прямоугольного треугольника равен 3, так как лежит против угла 30° (острые углы в сумме равны 90°, а один из них равен 60° - дано). второй катет равен вн=√(6²-3²)=√27=3√3. тогда в прямоугольном треугольнике bhd катет hd = ad-ah = 8-3=5, а гипотенуза bd равна по пифагору: bd = √(bh²+hd²)=√(27+25)=2√13.

сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. найдем вторую диагональ.

bd²+ac² =2(ab²+bc²)   или   52+ас² = 2*100 =200   => ас = √148 = 2√37.   2√37 > 2√13.   ac > bd.

ответ: bd = 2√13 см.

а можно диагональ bd (она меньшая, так как в треугольниках авс и acd с равными двумя сторонами третья сторона bd лежит против острого угла, а ac - против тупого) найти по теореме косинусов из треугольника аbd:   bd² = ab²+ad² - 2*ab*ad*cos60 = 100-48 = 52.

bd = √52 = 2√13 см.

1) из вершины треугольника проведем высоту на основание; высота делит основание (а) на две равные части (высота является медианой в равнобедренной треугольнике); высота лежит против угла в 30° и равна половине боковой стороны: h=4√3 : 2=2√3 см; по теореме пифагора: (4√3)^2=(2√3)^2+(а/2)^2; 48=12 + а^2/4; а^2=(48-12)*4; а=√36*4=6*2=12 см; ответ: 12 2) найдём площадь треугольника по формуле герона. s^2=21(21-13)(21-14)(21-15); s=√21*8*7*6; s=84 см^2; s=a*h/2; h=2s/a; наименьшая высота проведена к наибольшей стороне; h=2*84/15=11,2 см; ответ: 11,2