Длины всех ребер треугольной пирамиды sabc равны 5/ корнен из 3. через вершину основания а, параллельно ребру bc, проведена плоскость так, что угол между прямой ab и этой плоскостью равен π/6. найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Разобьем на две. сначала определим угол между плоскостями основания α и сечения β. проведем из точки в перпендикуляр к плоскости β. (рис.1)  как мы знаем, из точки на плоскость можно опустить лишь один перпендикуляр. опустим перпендикуляр из точки в на линию пересечения плоскостей (эта линия параллельна стороне ав). нам дан угол между прямой ав и плоскостью β. углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. проекцией прямой ав на плоскость β является катет ав1 прямоугольного треугольника ав1в с прямым углом ав1в и углом вав1=π/6=30°(дано) между катетом ав1 и гипотенузой ав. катет вв1 лежит против угла 30°, значит он равен половине гипотенузы ав. то есть вв1=5/(2√3). в прямоугольном треугольнике вв1а1 с прямым углом вв1а1 гипотенузой является прямая а1в, перпендикулярная прямой аа1, то есть параллельная прямой ан и равной ей, как противоположной стороне прямоугольника аа1в1н. ан - высота равностороннего треугольника авс и по формуле равна ан=(а√з)/2, где а - ребро пирамиды, то есть равна (5/√з)*√з/2=5/2. в прямоугольном треугольнике вв1а1 синус угла ва1в1 равен отношению противолежащего катета вв1 к гипотенузе а1в. имеем: sin(ва1в1)= [5/(2√3)]/5/2=1/√3. двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. следовательно, угол ва1в1 и есть искомый угол между плоскостями α и β, а его синус равен 1/√3. перейдем ко второй части решения. найдем площадь сечения пирамиды sabc плоскостью β, наклоненной к плоскости основания под углом arcsin(1/√3). (рис.2) в равностороннем треугольнике (коими  являются все грани нашей пирамиды) высота равна а*√з/2, где а - ребро пирамиды то есть равна 5/2.значит ан=sh=5/2. опустим перпендикуляр нк к плоскости сечения β. он равен найденному ранее расстоянию от точки в до этой плоскости, так как прямая вс параллельна плоскости β и значит все точки этой прямой равноудалены от плоскости β. следовательно, нк=(1/2)*ав=5/2√з. кстати, заметим, что отрезок ар, проходящий через точку к, является высотой и медианой треугольника сечения aef. рассмотрим прямоугольные треугольники soh so- высота пирамиды) и анк. cos(< sha)=oh/sh, где он=(1/3)sн (по свойству высоты-медианы равностороннего треугольника), а sh=5/2. значит  cos(< sha)=1/3. sin(< kah)=1/√з. (< kah это найденный ранее угол наклона секущей плоскости к плоскости основания). ну, а дальше тригонометрия: если cos(< sha)=1/3, то sin(< sha)=√(1-1/9)=2√2/3, а если sin(< kah)=1/√з, то cos(< кан)=√(1-1/3)=√(2/3). по теореме синусов в треугольнике арн имеем: ар/sin(< sha)=ah/sin(< aph) и рн/sin(< kah)=ah/sin(< aph). но sin(< aph)=sin(180-(< pah+< sha)=sin(< pah+< sha). по известной формуле  тригонометрии: sin(α+β)=sinβ*cosα+cosβ*sinα.  у нас sin(< pah+< sha) =(2√2/3)*√(2/3)+(1/√з)*(1/√з)=5/(3√з). тогда ар=ah*sin(< sha)/sin(< aph)=(5/2)*(2√2/3)/(5/(3√з))=√6. рн=ah*sin(< ран)sin(< aph)=(5/2)*(1/√з)/(5/(3√з))=3/2. апофема sh=sр+рн, отсюда sp=5/2-3/2=1. треугольники sвн и sep подобны. тогда ер/вн=sp/sh, отсюда ер=sp*вн/sh = 1*(5/2√з): (5/2)=1/√з. искомая площадь равна saef=ap*ep=(√6)*1/(√з)=√2 ед². ответ: площадь сечения saef= √2 ед².

1)13 2)33

Объяснение:

1.180-90-77=13

2.13+20=33

Но это не точно