Тригонометрические уравнения 1) 2cos²x - 5cosx + 2 = 0 2) 4sin²x + 4cosx - 1 = 0 3) sin3x + √3 cos3x = 0 4) √3 sinx + cosx = √2 5) решите уравнение 5cos²x - sin x cosx =2 и найдите его корни, принадлежащие интервалу (-п; п/2).

1) 2cos²x - 5cosx+2=0 пусть cosx=y 2y²-5y+2=0 d=25-16=9 y₁= 5-3=1/2         4 y₂= 5+3=2         2 при у=1/2 cosx=1/2 x= +  π/3 +2πn, n∈z при у=2 cosx=2 так как 2∉[-1; 1], то уравнение не имеет корней. ответ:   +  π/3 +2πn, n∈z. 2) 4sin²x + 4cosx -1=0 4(1-cos²x)+4cosx -1=0 4-4cos²x +4cosx-1=0 -4cos²x+4cosx+3=0 4cos²x-4cosx-3=0 пусть cosx=y 4y²-4y-3=0 d=16+4*4*3=16+48=64 y₁= 4-8=-1/2         8 y₂= 4+8=3/2=1.5         8 при у=-1/2 cosx=-1/2 x= + 2π/3 +2πn, n∈z при у=1,5 cosx=1.5 так как 1,5∉[-1; 1], то уравнение не имеет решений. ответ:   + 2π/3 +2πn, n∈z 3) sin3x+√3 cos3x =0 2( 1 sin3x + √3 cos3x) =0     2             2 1 sin3x +  √3 cos3x =0 2               2 sin (π/6) sin3x + cos (π/6) cos3x=0 sin (π/6 +3x) =0 3x+  π/6 =πn, n∈z 3x= -π/6 +  πn, n∈z   x=-π/18 +  πn, n∈z                   3 ответ: - π +  πn, n∈z             18     3 4)  √3 sinx + cosx =√2       √3 sinx + 1   cosx =  √2       2           2               2 sin(π/3) sinx + cos(π/3) cosx= √2                                                   2 sin(π/3 +x)= √2                     2 x+π/3 =(-1)^n * (π/4) +  πn, n∈z x=-π/3 +(-1)^n * (π/4) +πn, n∈z ответ:   x=-π/3 +(-1)^n * (π/4) +πn, n∈z  5) 5 cos²x - sinx cosx =2     5cos²x - sinx cosx =2(cos²x+sin²x) 5cos²x-2cos²x - sinx cosx -2sin²x=0 -2sin²x - sinx cosx + 3cos²x =0   2sin²x + sinx cosx - 3cos²x=0 2sin²x + sinx cosx - 3cos²x =     0       cos²x       cos²x       cos²x     cos²x 2tg²x +tgx-3=0 пусть tgx=y 2y²+y-3=0 d=1+24=25 y₁= -1-5= -1.5         4 y₂= -1+5=1         4 при у=-1,5 tgx=-1.5 x=-arctg1.5+πn, n∈z при n=0 x=-arctg1.5 при у=1 tgx=1 x=π/4 +  πn, n∈z на отрезке (-π;   π/2): -π  < π/4 +πn<   π/2 -π-π/4 < n <   π/2 -π/4 -5π/4 < n <   π/4 n=-1; 0 при n=-1 x=π/4 -π =-3π/4 при n=0 x=π/4 ответ: -arctg1.5;   -3π/4;   π/4.                      

пусть х - собственная скорость лодки. тогда ее скорость по течению  х + 2 , а скорость против течения  х - 2.

получаем уравнение     

  12                12                1

- =

  х - 2        х + 2            2

  12 * (х + 2) - 12 * (х - 2)                1 

=

              (х - 2) * (х + 2)                            2

        48                  1

  = 

    х² - 4            2

    х² - 4 = 96

    х² = 100

    х = 10