Докажите свойство медиан треугольника, используя векторный метод нахождения отношения длин отрезков.

Яне знаю, что это за "метод", наверно, опять в минобразе что-то придумали. но с векторов свойство медианы я бы так доказывал. пусть есть два вектора a и b, которые полностью определяют треугольник со сторонами a и b (эти стороны "выходят" из общей вершины). если соединить конец вектора a с серединой вектора b, то получится вектор m, соответствующий медиане m к стороне b. точно также строится медиана n к стороне a. очевидно, что m = b/2 - a; n = a/2 - b; пусть точка пересечения медиан делит медиану m в пропорции k/(1 - k); а медиану n в пропорции p/(1 - p); тогда  a + k m = b + p n; так как у этих векторов начало и конец : ). a + k( b/2 - a) = b + p( a/2 - b); или a(1 - k - p/2) = b(1 - p - k/2); вот это соотношение и было нужно, из него все получается автоматически. поскольку a и b - ненулевые и неколлинеарные вектора, то 1 - k - p/2 = 0; 1 - p - k/2 = 0; решение этой простенькой системы k = p = 2/3; то есть точка пересечения двух медиан делит их в пропорции 2/1; (само собой, и третья медиана тоже проходит через эту же точку).

1. s= a×b×sinα s= 8×14 1                           2 s= 56 cм²