Впрямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие - на катетах. а) докажите, что центр квадрата лежит на биссектрисе прямого угла треугольника. б) радиус окружности, описанной около треугольника, относится к стороне квадрата как 13: 6. найдите углы треугольника.

Впрямоугольный  δавс вписан квадрат кнме (кн=нм=ем=ке)  так, что две его вершины н и м лежат на гипотенузе ав, а две другие к и е - на катетах ас и вс соответственно. а)  цент квадрата о - это точка пересечения диагоналей квадрата км и  не. т.к. диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам, то < кое=90°, ко=ое. по условию  < асв=90°, значит  отрезок ке виден из точек с и о под прямым углом, следовательно точки с и о лежат на окружности диаметра ке. вписанные углы  кco  и  еco  опираются на равные дуги этой окружности ко и ое, значит они равны, а со -  биссектриса угла  acb, что и требовалось доказать. б)  из прямоугольного  δвем найдем вм=ем/tg аbс. из прямоугольного  δкан найдем ан=кн*tg авс (углы акн и авс равны, т.к.  < акн=90-< сав и  < авс=90-< сав). гипотенуза ав=ан+нм+вм=кн*tg авс+нм+ем/tg аbс=нм(tg авс+1+1/tg авс). центр описанной около прямоугольного треугольника  окружности лежит на середине  гипотенузы, значит ав=2rпо условию  r/нм=13/6 2r=нм(tg авс+1+1/tg авс). 2r/нм=(tg авс+1+1/tg авс). tg авс+1+1/tg авс=13/3 3tg² авс+3tg авс+3=13tg авс 3tg² авс-10tg авс+3=0 d=100-36=64 tg авс=(10+8)/6=3 tg авс=(10-8)/6=1/3 значит углы треугольника равны arctg 3 и  arctg 1/3 

Ответ прост: 180-140=40 ответ: 40