Сторона основание правильной треугольной призмы равен 4 м, диагональ боковой грани 5 м. найдите площадь боковой поверхности призмы?

Основание , диагональ боковой грани и высота образуют прямоугольный треугольник . найдём высоту по т пифагора  √(5²-4²)=3м значит боковая грань имеет размеры 4  м и 3 м и её площадь равна 3·4=12м² всего граней 3 , значит площадь боковой поверхности 12·3=36 м²

а) найдем для начала сторону у правильного треугольника в основании. по формуле площади правильного треугольника

сокращаем обе части на корень из 3

по смыслу сторона треугольника равна 6.

теперь самое сложное. придется построить высоту у треугольника в основании. она равна по формуле площади треугольника

 

 

теперь сократим на 3 обе части

 

 

 

по теореме о 3-х перпендикулярах получили прямоугольный треугольник следующего вида: первым катетом является высота треугольника в основании пирамиды. второй катет - это его боковое ребро, перпендикулярное плоскости основания. гипотенузой является апофема боковой грани, которая наклонена в 30 градусов к плоскости основания. угол между гипотенузой и высотой треугольника в основании равен 30 градусам. найдем катет, который является боковой гранью пирамиды. он выражается через тангенс.

теперь по теореме пифагора найдем длины других боковых ребер пирамиды. они равны, так как треугольники - боковые грани пирамиды равны по двум катетам. одно ребро - общее, стороны правильного треугольника в основании пирамиды тоже равны.

 

обозначим боковые ребра через l.

 

 

длины боковых ребер равны     3.

 

б) площадь боковой поверхности равна сумме двух одинаковых прямоугольных треугольников и площади треугольника, образованного сторонами l и стороной треугольника в основании.

 

площадь двух  прямоугольных треугольников равна

 

 

площадь последнего треугольника надо вычислить как половину произведения апофемы на сторону треугольника в основании

 

апофема равна из треугольника в теореме о 3-х перпендикулярах. то есть теперь нужно вычислить гипотенузу этого треугольника

 

 

теперь площадь боковой грани равна

 

площадь всей боковой поверхности равна