Восновании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом 60. радиус окружности вписаной в треугольник - 3см. все боковые грани пирамиды образуют с основанием угол 45 градусов. найти s бок.

Для начала приложу рисунок к , чтобы лучше понимать суть решения. по сути простая, но объяснений будет много, поскольку упоминается много различных понятий. посмотрим на примере , как их увязать в одно целое. итак, рисунок готов. 1)прежде чем решать , необходимо понять, о чём идёт речь в условии и всё ли мы понимаем. думаю, насчёт того, что такое пирамида и что такое прямоугольный треугольник, всё ясно. сделаем рисунок. прежде всего отмечу, что пирамида не является правильной - это был бы слишком хороший подарок. а вот какая пирамида у нас? правильно - произвольная. но вот в этом и есть основная сложность. ведь если, скажем, у нас дана правильная пирамида, то я знаю о ней довольно много: и что в основании лежит правильный многоугольник, и что вершина пирамиды проецируется в центр основания. это всё позволяет без труда решать . а вот что здесь? наверное, первый вопрос, который я хочу прояснить - куда попадёт высота пирамиды? на какую-то точку основания или же промахнётся мимо основания? это хороший вопрос, потому что существует одна важная теорема: если все двугранные углы пирамиды при основании равны, то её вершина проецируется в центр вписанной окружности основания(на самом деле, это совсем неочевидно, и это надо доказывать. если появится интерес, обратись ко мне, я покажу, как это сделать) смотрим в условие - у нас тот самый случай. значит, говорим мы, вершина пирамиды спроецируется в центр вписанной в треугольник окружности. а вот ещё один вопрос по планиметрии: а где находится эта самая точка? мы помним, что центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника. значит, проводим в треугольнике abc биссектрисы cm и an, они пересекаются в некоторой точке o(двух биссектрис достаточно, так как третья просто пройдёт через точку o). точка o - центр вписанной в треугольник окружности. тогда so - высота пирамиды. 2)когда мы более менее изобразили на чертеже базовые вещи, пора перейти к тому, что нам требуется найти. нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. а это что такое? а всё просто - это просто сумма площадей всех боковых граней пирамиды(у нас это три треугольника). значит, нам надо найти площади трёх боковых треугольников, и сложить их площади. получим ответ . 3)приступим. для начала я хочу построить эти самые углы между плоскостями, о которых идёт речь в . вспомним определение угла между плоскостями. это угол между перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведёнными в этих плоскостях. иными словами, находим линию пересечения плоскостей, затем берём на ней удобную для нас точку, и в каждой плоскости проводим перпендикуляры к этой линии. угол между этими перпендикулярами и есть угол между плоскостями. как применить это определение к нашей ? построим угол между плоскостями sac и bac. находим их линию пересечения - это ac. теперь в плоскости abc проведём к ac перпендикуляр - это oh. кстати сказать, oh - ещё и радиус вписанной в треугольник окружности. почему? потому что окружность касается ac, а радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. так что, oh = 3. теперь в плоскости asc проведём sh. докажем, что sh перпендикулярен ac.  замечаем, что ac лежит в плоскости основания, oh - проекция sh на плоскость основания ac перп oh - по построению, значит, в силу теоремы о трёх перпендикулярах sh перп ac. таким образом, мы провели к линии пересечения плоскостей два перпендикуляра, угол между ними и есть угол между плоскостями. то есть, < sho - и есть тот самый угол, поэтому < sho = 45 градусам. совершенно аналогично я строю двугранные углы между другими гранями: < sh1o = 45 градусам, < sh2o = 45 градусам. 4)теперь найдём все стороны прямоугольного треугольника в основании. < abc = 60 градусам, тогда < bac = 30 градусам. катет лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. пусть c = x, тогда ab = 2x. найдём ac по теореме пифагора ac^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2 ac = xsqrt3 существует формула, связывающая стороны прямоугольного треугольника с радиусом вписанной в него окружности r = (a+b-c)/2, где r - радиус вписанной окружности, a,b - катеты, c - гипотенуза. подставляем, решаем уравнение, находим x: (x + xsqrt3 - 2x)/2 = 3 (xsqrt3 - x) = 6 x(sqrt3 - 1) = 6 x = 6/(sqrt3 - 1) = bc тогда ab = 2x = 12/(sqrt3 - 1), а ac = 6sqrt3/(sqrt3 - 1) таким образом, я нашёл все стороны основания,  но и ещё основания всех трёх боковых треугольников. найдём их высоты, тогда можно будет найти их площади. 5)для этого рассмотрю три прямоугольных треугольника soh, soh1 и soh2. они, очевидно, равны по двум катетам(катет so - общий, oh = oh1 = oh2 = 3 - радиусы вписанной окружности). из равенства этих треугольников вытекает, что высоты всех трёх треугольников равны, то есть sh = sh1 = sh2.

Sb=2πRH,

де R – радіус (основи) циліндра;

H – висота (довжина твірної) циліндра.

Объяснение: