Тема: правильные шестиугольники. около правильного шестиугольника , у которого p=18 см , описана окружность . найдите диаметр этой окружности.

Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников (по кругу идут, с общей вершиной - центром описанной окружности) . при этом, 2 ребра их являются радиусами описанной вокруг 6-угольника окружности. т. е. радиус её =5 (диаметр/2). а тк. треугольники равносторонние, то и длина ребра этого 6-угольника =5, всего рёбер 6. поэтому периметр = 6х5= 30дм.

Пусть m - точка пересечения be и ad. в треугольнике bad биссектриса перпендикулярна стороне, то есть ab = bd; (и между прочим, am = md), поскольку d - середина bc, то bc = 2*ab; отсюда по свойству биссектрисы ae/ec = ab/bc = 1/2; то есть ec = 2*ae; дальше можно действовать двумя способами. если известны теоремы чевы и ван-обеля,  то быстро находится bm/me = 3; второй способ это показать - надо провести через точку e прямую ii bc, до пересечения с ad в точке k; ясно, что ak/kd = ae/ec = 1/2; откуда km = ad/2 - ad/3 = ad/6, и km/md = 1/3; из подобия треугольников kme и bmd следует bm = 3*me; теперь есть все, чтобы найти стороны. am = 84; bm = 126; me = 42; из прямоугольного треугольника  amb легко находится ab = 42√13; из ame  => ae = 42√5; bc = 2*ab = 84√13; ac = 3*ae = 126√5;