Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB=60°. Найдите радиус

Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠BCA=а и ∠CBD=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
25=AB=2Rsin(a)
16=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((√3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(√3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическая формула)
Разделим второе уравнение на первое:
16/25=R(√3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
16/25=(√3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
16*2sin(a)=25*(√3cos(a)-sin(a))
32sin(a)=25√3cos(a)-25sin(a)
57sin(a)=25√3cos(a)
Возведем правую и левую части в квадрат:
3249sin2(a)=625*3cos2(a)
3249sin2(a)=1875(1-sin2(a)) (применена основная тригонометрическая формула)
3249sin2(a)=1875-1875sin2(a))
5124sin2(a)=1875
sin2(a)=1875/5124
sin2(a)=625/1708
sin(a)=√625/1708
sin(a)=25/√1708
sin(a)=25/(2√427)
25=2R*25/(2√427)
1=R/(√427)
R=√427
Ответ: R=√427

решение задания по геометрии
 

г_д_з в Объяснение: