В параллелограмме ABCD диагональ BD = 6 см и образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов. Определите углы и периметр

Решение.

Поскольку нам дана величина угла ADB (диагональ параллелограмма образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов), то величина угла DBC также равна 60 градусов, поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, соответственно диагональ является секущей для двух параллельных прямых AD и BC, а для любой секущей внутренние накрест лежащие углы равны.

Таким образом, в треугольнике BCD нам известны два угла из трех, и они оба равны 60 градусов. Соответственно, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол BCD также равен 60 градусам, из чего следует, что треугольник BCD - равносторонний.

Поскольку треугольник BCD - равносторонний, то BC = CD = BD = 6 см.

Таким образом, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, периметр его равен 24 см. Параллелограмм является ромбом.

Дополнительно:

Поскольку точка М лежит на стороне CD, то AB и MD - параллельны, следовательно, ABMD - трапеция.

Угол DAB трапеции равен 60 градусов, исходя из решения, изложенного выше, как угол параллелограмма.

Угол ADM равен 120 градусов, так как по условию диагональ BD образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов, а ADM равен сумме данных углов.

Поскольку по условию точка M - середина DC, CM = MD. Значит BM - медиана треугольника DBC. Как указано выше, треугольник DBC - равносторонний, а в равностороннем треугольнике медиана является, одновременно, биссектрисой и высотой. Значит, угол DBM равен половине угла DBC и равен 60 / 2 = 30 градусов. Откуда угол ABM = 60 + 30 = 90 градусов. Поскольку BM - высота, то BMD равен также 90 градусов.

Исходя из сказанного,  ABMD - прямоугольная трапеция.

Ответ: 24 см. 60º, 90º, 90º, 120º - прямоугольная трапеция.

да помагите мне тоже надо