Пусть p — нечѐтное простое число. докажите, что для некоторой пары различных натуральных чисел m и n имеет место равенство 2/p = 1/n + 1/m, причем такая пара чисел единственна (с точностью до перестановки n и m).

1/m+1/n=2/p преобразуем: (m+n)/mn=2/p p(m+n)=2mn 2mn-pm-pn=0 4mn-2pm-2pn=0 4mn-2pm-2pn+p^2=p^2 2m*(2n-p) -p*(2n-p)=p^2 (2m-p)*(2n-p)=p^2 поскольку p -простое,то p^2 имеет делители +-1; +-p; +-p^2 при этом числа (2m-p) и (2n-p) являются его делителями. то возможно лишь 2 варианта: (без учета симметричной перестановки) 1) 2m-p=+-p 2n-p=+-p ,но тогда m=n ,что не удовлетворяет условию. 2) 2m-p=+-1 2n-p=+-p^2 m=(p+-1)/2 n=(+-p^2+p)/2 поскольку n-натуральное ,то +-p^2+p> 0 ,что возможно ,только если взять знак +. таким образом : m=(p+1)/2 (верно поскольку p+1 всегда четное число) n=p*(p+1)/2 (верно аналогично m).это решение будет единственно для любого простого числа p ,что мы только что и выяснили. можно сделать проверку ,подставив в исходное уравнение и убедится что пара подходит.

X=2-y; 3(2-y)-2y=9; 6-3y-2y=9; -5y=9-6=3; y=-3/5; x=2-3/5; x=1,4.