Найдите наибольшее натуральное n при котором число 2010! =1*2**2010 делится на n^4

Будем искать наименьшее неподходящее. понятно, что это число имеет вид p^k, где p - простое (иначе оно бы разбивалось на произведение двух взаимно простых множителей, больших единицы, являющихся, по предположению, делителем 2010! ) простое число p входит  в разложение числа 2010! на простые множители в степени  [2010/p] + [2010/p^2] + [2010/p^3] + ([x] - целая часть x) посмотрим, какие степени выходят для маленьких простых чисел p. в наибольшей степени в произведение входит двойка, её степень равна [2010/2] + [2010/4] + [2010/8] + + [2010/1024] = 2002 для p = 2 максимальное возможное k есть [2002/4] = 500. дальше тройка: [2010/3] + [2010/9] + [2010/81] + + [2010/729] = 1001 для p = 3 максимальное возможное k есть [1001/4] = 250 пятерка: [2010/5] + [2010/25] + [2010/125] + [2010/625] = 501 для p = 5 максимальное возможное k есть [501/4] = 125 семерка: [2010/7] + [2010/49] + [2010/343] = 333 для p = 7 максимальное возможное k есть [333/4] = 83 сравним числа 2^501 >   3^251 > 5^126 > 7^84. (их десятичные логарифмы:   346.5 >   274.7 >   201.2 > 161.5) возникает гипотеза: для нашего случая k = 1. найдем подходящее число p. итак, надо найти такое простое p, что предыдущее простое входит в степени, не меньшей четырех, а p - в степени не большей трех. заметим, что p^2 < 2010 - иначе число p входит в разложение в степени, не меньшей, чем (p - 1), что куда больше четырех при больших p. [2010/p] + [2010/p^2] + = [2010/p] < 4 p > 2010/4 минимальное простое p, удовлетворяющее неравенствам, равно 503. на этом мотивировочная часть решения закончилась и начинается решение. решение.  утверждаем, что это число равно 503. заметим, что для всех n < 503 числа n, 2n, 3n, 4n < 2010 и поэтому 2010! делится на 24n^4 и, в частности, на n^4. но 2010! делится на 503^3 и не делится на 503^4.

790 628 буква А встречается в книге