Вправильной четырехугольной пирамиде равсd каждое ребро равно 12. на ребре рс отмечена точка к так, что рк: кс=1: 3. а) докажите, что линия пересечения плоскостей авк и рсd параллельна плоскости авс. б) найдите площадь сечения пирамиды плоскостью авк.

Построим сечение пирамиды плоскостью abk. k∈ грани pcd. 1) отметим для определенности вершины основания пирамиды таким образом: на заднем плане слева направо d и a, на переднем слева направо c и b ab паралл cd. cd∈pcd. ab∉pcd. если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. значит, ab парал плоскости pcd. или грань pcd парал ab. точка k∈pcd. в этом случае секущая плоскость будет пересекать эту грань по отрезку kl парал следу ab. l∈pd⇒abkl - секущая плоскость. это будет равнобедренная трапеция kl - линия пересечения плоскостей abk и pcd. kl∉abc - плоскости основания пирамиды kl парал ab - по построению ab∈ плоскости abc⇒kl парал abc по выше указанной теореме. 2) нужно найти площадь abkl. отметим точки и соединим их: e - середина kl; n - середина ab. en - высота трапеции. s=1/2(kl+ab)*en ab=12 - по условию a) для нахождения kl рассмотрим тр-ки pcd и pkl. они подобны. из подобия записываем пропорциональность сторон: cd: kl=pc: pk рк: кс=1: 3⇒pc: ck=4: 1⇒cd: kl=4: 1⇒kl=1/4*cd=1/4*12=3итак, kl=3б) теперь займемся поиском en.проведем апофемы pm и pn, где pm∈ грани pcd, pn∈ грани pabo - центр основания (точка пересечения диагоналей ac и bd)соединим точки m и n. o∈mn. mn=12так как каждое ребро равно 12, то боковые грани - равносторонние тр-киапофемы - высоты равносторонних тр-ков. если a - сторона правильного тр-ка, то a√3/2 - его высота. значит, pm=pn=12*√3/2=6√3построим отдельно тр-ник mpn. он  - равнобедренный соединяем точки e и n.po - его высота. mo=on=6⇒по теореме пифагораpo^2=pm^2-mo^2=(6√3)^2-6^2=6^2(3-1)=36-2=72⇒po=√72=√36*2=6√2проведем ef парал po. тогда en можно найти из тр-ка efn. для этого нужно знать длины отрезков ef и fn.из подобия выше рассмотренных тр-ков pm: pe=4: 1 рассмотрим тр-ки omp и fme. они подобны⇒mp: me=po: ef=mo: mfmp: me=4: 3⇒ef=3/4*po=3/4*6√2=9/2*√2; mf=3/4*mo=3/4*6=9/2fn=fo+on=om-mf+on=mn-mf=12-9/2=15/2en^2=ef^2+fn^2=(9/2*√2)^2+(15/2)^2=(3/2)^2*3^2*2+(3/2)^2*5^2= = (3/2)^2*(18+25)=43*(3/2)^2 ⇒en=3/2*√43 - высота трапеции s=1/2(kl+ab)*en=1/2*(3+12)*3/2*√43=45√43/4 ответ: s= 45√43/4

АС = 42 см; ВС = 34 см

Объяснение:

1) 76 - 8 = 68 (см) - сумма ВС + АС, если бы они были равны,

2) 68 : 2 = 34 (см) - длина ВС;

3) 34 + 8 = 42 (см) - длина АС;