Как полярной иве удаётся достичь длины 5 метров?

ладно, хоть я и на коленках делал, а все равно - попробую оформить.

x^2/96 + y^2 + z^2 = 1;   (1/96)*x*dx + y*dy + z*dz = 0;

ищем такую точку (x0,y0,z0), принадлежащую эллипсоиду, что плоскость, определяемая уравнением

  (1/96)*x0*(x - x0) + y0*(y - y0) + z0*(z - z0) = 0; (просто заменили dx = x - x0, получили касательную плоскость в точке  (x0,y0,z0), это все в точности, как в одномерном случае связь производной и касательной к графику)

самая близкая точка эллипсоида к плоскости  3x+4y+12z=288; будет там, где касательная плоскость параллельна ей. отсюда получаем

(x0/96, y0, z0) = (3*a, 4*a, 12*a); то есть (x0,y0,z0) = (288*a,4*a,12*a);

а находится из уравнения эллипсоида. 

a^2 = 1/(288^2/96 + 4^2 + 12^2) = 1/1024; a = 1/32; (минус тоже подходит, но интуитивно понятно, то решение с "плюсом" ближе к плоскости)

мы получили точку эллипсоида, самую близкую к плоскости.

это точка r0 = (9,1/8,3/8) (жирным выделены вектора, под r понимается радиус-вектор точки, то есть вектор из начала координат в точку (x,y,z))

уравнение плоскости можно переписать в виде nr = 288/iаi,

где a = (3,4,12); iai = корень(3^2 + 4^2 + 12^2) = 13; n = a/iai - единичный вектор.

n = (3/13, 4/13, 12/13);   nr  = 288/13 - уравнение заданной плоскости.

вычислим nr0 = (3*9+4*1/8+12*3/8)/13 = 32/13. это и есть уравнение касательной плоскости в точке r0. 

поскольку скалярные произведения не зависят от выбора направления осей и расстояния - тоже, повернем оси так, чтобы n стал единичным вектором оси z.

тогда уравнения этих двух плоскостей превратятся в z = 288/13 и z = 32/13. ясно, что расстояние между ними равно 288/13 - 32/13 = 256/13.