Сечение! ,; 1)дан куб abcda₁b₁c₁d₁.постройте сечение куба плоскостью а₁вс.постройте сечение куба плоскостью,проходящей через точку м парельно плоскости а₁вс. 2)точка м лежит на ребре cd тетраэдра abcd.построить сечение тетраэдра плоскостью, а) проходящей через точку м,если мd: мс=5: 2. б)проходящящей через точки m,n и к,причем м-середина cd,n∈bc,nc=2bn,k∈ab,bk=2ak. b)проходящей через точку м параллельно прямым bd и ас,если мс: сd=2: 7 каким должно быть отношение мс: сd для того,чтобы такое сечение было ромбом?

1) секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. она пересекает грань вв₁с₁с по прямой вс. так как точка а₁ принадлежит сечению, то секущая плоскость пересекает грань аа₁d₁d по прямой a₁d₁ (bc║a₁d₁).

a₁d₁cb - искомое сечение.

расположение точки м не дано. возьмем точку на ребре аа₁.

по признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

проведем в грани аа₁в₁в отрезок mf║а₁в, в грани aa₁d₁d отрезок ме║a₁d₁.

плоскость грани авсd пересекает параллельные плоскости (желтую и голубую) по параллельным прямым, поэтому в грани авсd проводим отрезок fk║bc. соединяем точки е и к.

mekf - искомое сечение.

2) в пунктов а) и в) точка м расположена одинаково. в пункте а) не сказано, как проходит сечение, а через одну точку можно провести бесконечно много сечений. поэтому эти пункты объединим, стоим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку м, параллельно прямым ас и bd.

а) и в) проведем в грани acd мк║ас, а в грани bcd мр║bd.

мр║bd, а значит и плоскости abd. сечение проходит через мр и пересекает abd, значит линия пересечения параллельна bd. проводим ке║bd.

мк║ас, а значит и плоскости авс. сечение проходит через мк и пересекает авс, значит линия пересечения параллельна ас. значит получилось, что ер║ас.

мкер - искомое сечение. имеет вид параллелограмма, так как противоположные стороны параллельны (мк и ре параллельны ас, значит мк║ре, ке и мр параллельны bd, значит ке║мр).

сечение   может быть ромбом, если речь идет о правильном тетраэдре и точка м будет серединой стороны cd. тогда все стороны сечения будут средними линиями граней тетраэдра и будут равны.

б) соединим точки, находящиеся в одной грани: м и n, n и к.

прямая mn лежит в грани bcd, эта грань пересекает плоскость грани abd по прямой bd. продлим mn до пересечения с прямой bd (точка р).

теперь точки р и к лежат в плоскости одной грани abd; проводим прямую рк. она пересечет ребро ad в точке т.

соединяем м и т.

мnkt - искомое сечение.