1)концы отрезка ав лежат по разные стороны относительно плоскости альфа. через точки а, в и середину отрезка ав (точка м) проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость альфа в точка а1, в1, м1. вычислите мм1 если аа1=6 см, вв1=4см. 2)катет вс прямоугольного треугольника авс лежит в плоскости альфа. вершина а удалена от неё на 2 корень из 2-х дм. вс=ас=4 дм. вычислите угол между плоскостью альфа и прямой: 1)ас; 2)ав 3)ребро куба авсda1b1c1d1 равно 24 см. точка к-середина ребра вв1. через к проведена плоскость альфа, параллельная плоскости вс1а1. 1)постройте отрезок,который лежит в плоскости альфа и в грани авв1а1; 2)постройте сечение куба плоскостью альфа.; 3)вычислите площадь сечения.

1. пусть ав ∩ α = о. прямые аа₁, вв₁, мм₁ лежат в одной плоскости, которая пересекает плоскость α по прямой а₁в₁. т.е. точки а₁, о, м₁, в₁ лежат на одной прямой. δвв₁о подобен δаа₁о по двум углам (углы при вершине о равны как вертикальные, ∠аа₁о = ∠вв₁о как накрест лежащие при пересечении аа₁║вв₁ секущей а₁в₁), значит во : оа = вв₁ : аа₁ = 4 : 6 = 2 : 3 оа = 3/5 ав ам = 1/2 ав ом = оа - ам = 6/10 ав - 5/10 ав = 1/10 ав. мо/ао = 1/10 / (3/5) = 1/6 δомм₁ подобен δоаа₁ по двум углам (угол о общий, ∠омм₁ = ∠оаа₁ как соответственные при пересечении мм₁║аа₁ секущей ао), значит мм₁ : аа₁ = мо : ао = 1 : 6 мм₁ = аа₁/6 = 1 см. 2. проведем ан⊥α. тогда ан = 2√2 дм, и сн - проекция ас на α, вн - проекция ав на α. угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. ∠(ас; α) = ∠асн ∠(ав; α) = ∠авн δасн: ∠анс = 90°               sin∠ach = ah/ac = 2√2/4 = √2/2 ∠ach = 45°. ав = 4√2 дм как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника. δавн: ∠анв = 90°,               sin∠abh = ah/ab = 2√2/(4√2) = 1/2 ∠abh = 30° 3. параллельные плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым. 1) плоскость вс₁а₁ и параллельная ей плоскость α пересекают плоскость грани аа₁в₁в по параллельным прямым. поэтому в этой грани строим среднюю линию треугольника ва₁в₁ - kl, которая параллельна ва₁. kl - это отрезок, который лежит в плоскости α и в грани аа₁в₁в. 2) проведем среднюю линию треугольника вв₁с₁ - км, она параллельна  вс₁. klm - искомое сечение. оно проходит через точку к и параллельно вс₁а₁ (так как две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости). 3) вс₁а₁ - равносторонний треугольник, так как его стороны являются диагоналями равных квадратов. вс₁ = с₁а₁ = а₁в₁ = 24√2 см sbc₁a₁ = bc₁²√3/4 = 576·2·√3/4 = 288√3 см² δklm подобен δвс₁а₁ по трем сторонам (стороны треугольника klm в два раза меньше соответствующих сторон треугольника вс₁а₁ как средние линии соответствующих треугольников). k = 1/2. sklm = sbc₁a₁ · k² = 288√3/4 = 72√3 см²

.............................