Вправильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 30 градусов, а кратчайшее расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания равно 3 см. найдите объём этой пирамиды. (желательно с чертежом)

обозначим пирамиду авсs(смотри рисунок). пирамида правильная значит в основании лежит правильный треугольник( обозначим его сторону а) и высота оs пирамиды проецируется в центр основания. кратчайшее расстояние мк перпендикулярна аs. из треугольника sвк найдём боковое ребро. прямоугольные треугольники амк и аsо подобны по острому углу sао. отсюда находим н. дальше по теореме пифагора, из треугольника аsо находим выражение  а квадрат. подставляем найденные значения в известную формулу. ответ на рисунке.

  правильная пирамида - все углы равны и стороны равны.таким образом, задан тетраэдр.

плоский угол при вершине - угол между двумя ребрами.

пусть боковая сторона равна а.

рассмотрим прямоугольный треугольник abc, образованный боковой стороной тетраэдра, её проекцией на основание и высотой пирамиды.

ясно, что основание высоты равноудалено от вершин основания, то есть проекция бокового ребра на основание есть радиус r описанной окружности вокруг треугольника со стороной а, т. е. r =;

заданный отрезок длины 3 является в построенном прямоугольном треугольнике медианой, то есть равен половине гипотенузы. а роль гипотенузы играет боковое ребро. поэтому а = 6 

площадь правильного треугольника со стороной 6 равна = 6^2*√3/4; а всего у нас 4 одинаковых грани, то есть площадь всей поверхности пирамиды равна