Вправильной треугольной пирамиде боковые ребра равны l и наклонены к основанию под углом b. найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды.

обозначим пирамиду авсдs(смотри рисунок). поскольку основание-равносторонний треугольник, то о-пересечение медиан, которая делит ад в отношении 2/1 считая от вершины. обозначив сторону основания а, находим её зная ад. затем из прямоугольного треугольника акд-находим кд, а в треугольнике кдс находим тангенс половины искомого угла. ответ -угол вкс=2arctg 1/(корень из3)*sinb.

решение

пирамида называется правильной, если основанием её является  правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

-боковые ребра правильной пирамиды равны;

-все боковые грани  — равные равнобедренные треугольники

высота пирамиды н=l*sin(b)

основание пирамиды равносторонний треугольник

все углы равны - 60 град

все стороны равны    -а

вк - медиана, биссектриса, высота

во=l*cos(b)

bo=2/3*bk

bk=3/2*bo=3/2* l*cos(b)

сторона основания  a =bk/sin60=3/2* l*cos(b)/(√3/2)= √3*l*cos(b)

высота боковой грани sm=√(sb^2-mb^2)=√(l^2-(a/2)^2)=√(√3*l*cos(b))/2)^2)=

=1/2*l*√(4-3cos^2(b))

выразим площадь треугольника sdb

- через высоту  и основание двумя способами

s =1/2*bd*sm =1/2*sb*df

тогда имеем отношение bd*sm =sb*df  =>   df= bd*sm /sb

h=df=a* 1/2*l*√(4-3cos^2(b)) / l =√3*l*cos(b) *1/2*l*√(4-3cos^2(b)) / l=

=√3/2 *l*cos(b)√(4-3cos^2(b))

теорема косинусов

a^2 = h^2+h^2-2h^2*cosa =2h^2(1-cosa)

cosa=1 - a^2 / (2*h^2)

cosa =1- (√3*l*cos(b))^2 / (2*√3/2 *l*cos(b)√(4-3cos^2( = 1 - 1 / (4-3cos^(b))

a = arccos (1 - 1 / (4-3cos^(b)) )

ответ  < a = arccos (1 - 1 / (4-3cos^(b)) )  ; н=l*sin(b)