1. діагональ бічної грані правильної трикутної призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут альфа. знайдіть площу бічної поверхні призми. 2. знайдіть площу поверхні чотирикутної піраміди, у якої кожне ребро дорівнює √2 см, а в основі лежить квадрат. 3. бічні ребра піраміди дорівнюють гіпотенузі прямокутного трикутника, що лежить в її основі, дорівнюють 12 см. знайдіть висоту піраміди.

1) бічна грань - прямокутник. її розміри -dsin  α*dcos  α = d²sin2α/2. площа бічної поверхні призми складає з 3 граней, тоді sбок = (d²sin2α/2)*3 = 3 d²sin2α/2.2) якщо  кожне ребро дорівнює √2 см, то бічні грані - рівносторонні трикутники. апофема дорівнює  √2*cos 30 =  √2*√3/2. площа бічної поверхні становить 4*(1/2)*√2* √2*√3/2. = 2√3, площа основи - (√2)² = 2. тоді повна поверхня дорівнює 2√3 + 2 = 2(√3 + 1). 3) якщо в основі піраміди прямокутний трикутник, а бічні ребра однакові, то вісь піраміди проходить через середину гіпотенузи основи. ця вісь становить одночасно апофемою бічної грані. тобто ця бічна грань вертикальна та її висота одночасно становить висотою піраміди. висота піраміди дорівнює 12*cos 30 = 12*(√3/2) = 6√3.

По условию ас: ав=5: 7 или ас=5ав/7. т.к. вм -  медиана, значит ам=см=ас/2. согласно  свойству медианы  bm делит треугольник abc на два равновеликих треугольника авм и свм: sавм=sсвм=sавс/2.т.к. ар- биссектриса, значит < вар=< сар. согласно свойству биссектрисы  ар делит противоположную  сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон: ав: ас=вр: рс, ав: 5ав/7=вр: рсвр: рс=7: 5 или рс=5вр/7.  тогда сторона вс=вр+рс=вр+5вр/7=12вр/7аналогично и в треугольнике авм ак: ав: ам=вк: км, ав: ас/2=вк: км, ав: 5ав/14=вк: км вк: км=14: 5 или км=5вк/14.  тогда медиана вм=вк+км=вк+5вк/14=19вк/14.у треугольников авм и акм одинаковая высота, опущенная из а на сторону вм, а если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей  равно отношению длин оснований   (сторон, на которые опущены эти высоты): sавм: sакм=вм: км=19вк/14: 5вк/14=19: 5sакм=5sавм/19=5sавс/38 аналогично у треугольников  авс и авр одинаковая высота, опущенная из а на сторону вс,  значит  sавс: sавр=вс: вр=12вр/7: вр=12: 7. sавр=7sавс/12.находим площадь четырехугольника  sкрсм: sкрсм=sавс-sавр-sакм=sавс-7sавс/12-5sавс/38=65 sавс/228.отношение площади  sкрсм: sавс=65sавс/228: sавс=65/228